Основы программирования

Date: 2015-10-07; view: 493.

ВАРИАНТ 30

ВАРИАНТ 29

ВАРИАНТ 28

ВАРИАНТ 27

ВАРИАНТ 26

ВАРИАНТ 25

ВАРИАНТ 24

ВАРИАНТ 23

ВАРИАНТ 22

ВАРИАНТ 21

ВАРИАНТ 20

ВАРИАНТ 19

ВАРИАНТ 18

ВАРИАНТ 17

ВАРИАНТ 16

ВАРИАНТ 15

ВАРИАНТ 14

ВАРИАНТ 13

ВАРИАНТ 12

ВАРИАНТ 11

ВАРИАНТ 10

ВАРИАНТ 9

ВАРИАНТ 8

ВАРИАНТ 7

ВАРИАНТ 6

ВАРИАНТ 5

ВАРИАНТ 4

ВАРИАНТ 3

ВАРИАНТ 2

ВАРИАНТ 1

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. , , и

10. Вычислить проекцию вектора на направление вектора ,

где ; .

11. Векторы и образуют угол в , , . Найти длину

вектора , если .

12. Лежат ли точки , , и в одной

плоскости?

13. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин

и уравнения двух высот: и .

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось и точку

.

15. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку

перпендикулярно к вектору и пересекает прямую

.

16. Принадлежит ли прямая плоскости ?

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. , , и

10. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и

.

11. Сила приложена к точке . Определить момент

этой силы относительно точки .

12. Какую тройку (левую или правую) образуют векторы ,

и ?

13. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину ,

а также уравнения высоты и медианы ,

проведенных из различных вершин.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и

отсекающей от осей координат положительные и равные отрезки.

15. Составить каноническое уравнение прямой, лежащей в плоскости ,

проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой

.

16. Найти угол между прямой и плоскостью, проходящей

через точки , , .

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. , , и

10. При каком t векторы и будут взаимно

перпендикулярны?

11. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и

, если , угол между векторами и равен .

12. Компланарны ли векторы , и ?

13. Через точку пересечения прямых и провести

прямую, которая, кроме того, 1) проходит через начало координат;

2) параллельна оси абсцисс; 3) параллельна оси ординат;

4) проходит через точку .

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 2; 0) и

N(2; 1; 1) параллельно вектору (3; 0; 1).

15. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M (3; -2; 0) перпен-

дикулярно к прямой и расположенной в плоскости .

16. Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения

плоскости с прямыми и

.

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. ={11; 5; -3}, ={1; 0; 2}, ={-1; 0; 1} и {2; 5; -3}

10. Доказать ,что точки А(1; -1; 1), B(1; 3; 1), C(4; 3; 1), D(4; -1; 1) являются

вершинами прямоугольника. Вычислить длину его диагоналей.

11. Вычислить площадь треугольника ABC, вершины которого лежат в точках

А(2; 3; 4), B(4; 3; 2), и C(1; 1; 1).

12. При каком значении точки А(1; 0; 3), B(-1; 3; 4), C(1; 2; 1), и D( ; 2; 5)

лежат в одной плоскости?

13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых

и и через точку A(2; 1).

14. Даны координаты вершин тетраэдра А(2; 0; 0), B(5; 3; 0), C(0; 1; 1),

D(-2; -4; 1). Найти двугранный угол между гранями ABC и ABD.

15. При каком значении прямые и

параллельны?

16. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(4; 0; -1) и

пересекающей две данные прямые и .

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. ={13; 2; 7}, ={5; 1; 0}, ={2; -1; 3} и ={1; 0; -1}

10. В прямоугольном треугольнике АВС углы при вершинах А и С равны и

, а длина гипотенузы равна 2. Вычислить

11. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам ={0; -1; 2} и

={1; 3; 3} и удовлетворяет условию .

12. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(0; 0; 1), B(2; 3; 5),

C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

13. Вычислить координаты вершины ромба, если известны уравнения двух его

сторон: x + 2y = 4 и x + 2y = 10 , и уравнение одной из его диагоналей:

y = x + 2 .

14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 1; 1) и N(-1; 1;-1)

параллельно прямой , определяемой точками А(5; -2; 3) и В(6; 1; 0).

15. При каком значении D прямая проходит через начало

координат?

16. Найти точку , симметричную точке А(3; -1; 4) относительно прямой

.

1. 2. , ,

3. , 4.

5.

6. 7. 8.

9. ={2; 7; 5}, ={1; 0; 1}, ={1; -2; 0} и ={0; 3; 1}

10. Даны точки А(0; -3; 4), В(2; 5; -1) и С(-4; 2; -2). Вычислить скалярное

произведение векторов и

11. Найти длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины С на

сторону АВ, если A(2; 3; 4), B(4; 3; 2) и C(1; 1; 1).

12. Какую тройку (правую или левую) образуют векторы ,

и ?

13. Найти вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если дана

вершина прямого угла С(3; -1) и уравнение гипотенузы 3x – y + 2 = 0.

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через перпендикуляры,

опущенные из точки А(2; 0; 1) на плоскости x – 3y +2z = 0 и 2x – y + 2z = 0.

15. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку

М(2; 1; 3), параллельно прямой x = 3+t , y = 3t, z = 2-t.

16. Найти угол между прямой, проходящей через точки А(-1; 0; -5) и В(1; 2; 0),

и плоскостью x – 3y + z + 5 = 0.

1
. 2. , ,

3. , 4.

5.

6. 7. 8.

9. ={-9; 5; 5}, ={4; 1; 1}, ={2; 0; -3} и ={-1; 2; 1}

10. Треугольник АВС задан координатами своих вершин А(-1; -2; 4), В(-4; -2; 0)

и С(3; -2; 1). Определить его внешний угол при вершине В.

11. Раскрыть скобки и упростить выражение:

.

12. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах

, , , где и - взаимно

перпендикулярные орты.

13. Стороны АВ и ВС параллелограмма заданы уравнениями 2x – y + 5 = 0 и

x – 2y + 4 = 0, диагонали его пересекаются в точке М(1; 4). Найти уравнение

сторон CD и AD.

14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; -3; 1)

параллельно векторам и .

15. Даны вершины треугольника А(1; 0; -1), В(2; 1; 3), С(0; -1; 1). Составить

уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

16. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки А(-1; 3; 2) на

плоскость 2x – y + z + 3 = 0.

1. 2. , ,

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={-5; -5; 5}, ={-2; 0; 1}, ={1; 3; -1} и ={0; 4; 1}

10. Найти координаты вектора , коллинеарного вектору ={3; -4; 0}, если известно, что вектор образует с осью тупой угол и =10.

11. ={3; 1; -1}, ={-2; 1; 4}. Вычислить .

12. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(0; 0; 1), B(2; 3; 5),

C(6; 2; 3) и D(3; 7; 2).

13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М пересечения

прямых 2x + y + 6 = 0 и 3x + 5y – 15 = 0 и через точку N(1; -2).

14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; 5; 3) параллельно

плоскости x + 2y - 3z + 2= 0 .

15. При каком значении прямые и

перпендикулярны?

16. Проверить, что прямые и пересекаются.

Найти уравнение плоскости, в которой они лежат.

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. ={13; 2; 7}, ={5; 1; 0}, ={2; -1; 3} и ={1; 0; -1}

10. По координатам вершин треугольника АВС A(1; 1; -1), B(2; 4; -1) и

C(8; 3; -1) выяснить, является ли он прямоугольным, остроугольным или

тупоугольным.

11. Раскрыть скобки и упростить выражение:

.

12. При каком m векторы , и

компланарны?

13. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ: 3x + 2y = 12, уравнение

высоты BM: x + 2y = 4 , уравнение высоты АМ: 4x + y = 6, где М - точка

пересечения высот. Написать уравнения сторон АС и ВС.

14. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2; 3; -1) и В (1; 5; 3)

перпендикулярно плоскости 3x – y + 3z + 15 = 0 .

15. Через точку М(2; -1; 3) провести прямую, параллельную прямой

.

16. Написать каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку

М(3; -2; -4) параллельно плоскости 3x – 2y – 5z – 7=0 и пересекает прямую

.

1. 2. , ,

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={-19; -1; 7}, ={0; 1; 1}, ={-2; 0; 1} и ={3; 1; 0}

10. Проверить будет ли треугольник АВС (A(1; 2; 3), B(7; 10; 3), C(-1; 3; 1))

прямоугольным?

11. Раскрыть скобки и упростить выражение:

.

12. Найти объем параллелепипеда с вершинами в точках A(2; 2; 2), B(4; 3;3),

C(4; 5; 4) и D(5; 5; 6).

13. Дано уравнение 3x + 4y – 12 = 0 стороны АВ параллелограмма ABCD,

уравнение x + 12y - 12 = 0 диагонали АС и середина Е стороны ВС.

Найти уравнения сторон ВС, СD и AD.

14. Cоставить уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; -3; 5)

перпендикулярно линии пересечения плоскостей 2x + y - 2z + 1 = 0 и

x + y + z –5 = 0 .

15. Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую

.

16. При каком значении плоскость 5x – 3y + z + 1 = 0 будет параллельна

прямой ?

1. 2. , ,

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={3; -3; 4}, ={1; 0; 2}, ={0; 1; 1} и ={2; -1; 4}

10. Найти работу силы ={4; -1; 1} на перемещении ={5; 3; -2}.

11. Вычислить координаты вектора , перпендикулярного векторам

и и образующего тупой угол с осью , если

.

12. Доказать, что точки A(1; -2; 2), B(1; 4; 0), C(-4; 1; 1) и D(-5; -5; 3) лежат в

одной плоскости.

13. Даны уравнения сторон параллелограмма ABCD: AB: 3x + 4y - 12 = 0,

AD: 5x - 12y - 6 = 0 и середина Е(-2; 1) стороны BC. Найти уравнения двух

других сторон параллелограмма.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

(1; 2; 0), (2; 1; 1), (3; 0; 1).

15. Через точку А(0; -2; 1) провести прямую так, чтобы она пересекала две

данные прямые и

16. Найти расстояние от точки А(2; 3; -1) до прямой .

1. 2. , ,

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={8; 0; 5}, ={2; 0; 1}, ={1; 1; 0} и ={4; 1; 2}

10. Найти скалярное произведение векторов и , если

и .

11. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и

, если , а угол между векторами и равен .

12. Какую тройку (левую или правую) образуют векторы ,

, ?

13. Даны вершины треугольника А(2; 1), B(-1; -1), C(3; 2). Составить уравнение

высоты, опущенной на сторону ВС, и медианы, проведенной к стороне АС.

14. Плоскость проходит через ось и составляет с плоскостью

2x + y - z = 0 угол . Найти её уравнение.

15. Пересекаются или нет прямые и ?

16. Найти проекцию точки М(0; 1; 2) на прямую .

1. 2. , ,

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={3; 1; 8}, ={0; 1; 3}, ={1; 2; -1} и ={2; 0; -1}

10. Найти угол между векторами и , если и

.

11. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

{2; -1; 5} и {2; 3; 6} как на сторонах.

12. Проверить, компланарны ли векторы , ,

.

13. Найти проекцию точки М(1; 1) на прямую .

14. Написать уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через

точки А(-1; 2; 1) и В(3; 0; 2).

15. Проверить, пересекаются ли прямые и

.

16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

, перпендикулярно плоскости 3x + y – 2z + 5 = 0.

1. 2. , , C=2A-3B

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={8; 1; 12}, ={1; 2; -1}, ={3; 0; 2} и ={-1; 1; 1}

10. Даны векторы и . При каком векторы

и перпендикулярны?

11. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках А(2; 2; 2),

B(4; 0; 3) и C(0; 1; 0).

12. Проверить будут ли компланарны векторы , и

?

13. Найти точку N, симметричную точке М(0; -3) относительно прямой

.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось и точку

M(2; -1; 3).

15. Даны вершины треугольника А(1; 0; 2), B(-2; 3; -1), C(3; -2; 4). Составить

уравнение медианы из вершины В на сторону АС.

16. Через прямую x = 2t + 1, y = -t + 2, z = 3t – 2 провести плоскость

параллельную прямой .

1. 2. , ,

3. , 4.

5.

6. 7. 8.

9. ={-9; -8; -3}, ={1; 4; 1}, ={-3; 2; 0} и ={1; -1; 2}

10. Найти скалярное произведение векторов и , если

, .

11. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам и

и удовлетворяет условию .

12. Заданы точки А(1; 2; -2), B(3; 2; -1) , C(0; 1; -2) и D(3; 2; 3). Найти объем

тетраэдра АBCD.

13. Составить уравнения сторон треугольника, зная его вершину С(1; 2), а так-

же уравнения высоты x – 2y + 1 = 0 и медианы 4x + y + 2 = 0, проведенных

из одной вершины.

14. Из точки Р(2; -1; 3) опущен на плоскость перпендикуляр, его основание

М(1; 2; 4). Найти уравнение плоскости.

15. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку А(1; -5; 3) и

образует с осями координат углы, соответственно равные , , .

16. Найдите точку В, симметричную точке А(2; 0; 1) относительно прямой

.

1. 2. , ,

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={-5; 9; -13}, ={0; 1; -2}, ={3; -1; 1} и ={4; 1; 0}

10. Векторы и образуют угол . Найти длину вектора , если

, .

11. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и

, если , а угол между векторами и равен .

12. Компланарны ли векторы ?

13. В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ: 3x – 4y + 5 = 0,

уравнение высоты АМ: x + 2y – 10 = 0 и высоты BN: 2x – 3y + 4 = 0.

Составить уравнения двух других сторон треугольника.

14. Через линию пересечения плоскостей 4x – y + 3z – 1 = 0 и x + 5y – z +2 = 0

провести плоскость, проходящую через точку M(1; 1; 1).

15. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А(-1; 0; 3) на

прямую .

16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

и перпендикулярной к плоскости 2x + 3y – z = 4.

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. ={3; 3; -1}, ={3; 1; 0}, ={-1; 2; 1} и ={-1; 0; 2}

10. Найти при каком векторы и будут

взаимно перпендикулярны, если , .

11. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

и как на сторонах.

12. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A(1; 3; 6), B(2; 2; 1),

C(-1; 0; 1), D(-4; 6; -3).

13. Найти уравнения прямых, проходящих через точку М(-1; 2) под углом

к прямой x – 2y + 3 = 0.

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и

перпендикулярной к двум плоскостям: 2x – y + 5z + 3 = 0 и x + 3y – z – 7 = 0.

15. Даны точки пересечения прямой с двумя координатными плоскостями

и . Вычислить координаты точки пересечения этой же

прямой с третьей координатной плоскостью.

16. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М(1; 0; -1) на

прямую .

1. 2. , , C=

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={2; -1; 11}, ={1; 1; 0}, ={0; 1; -2} и ={1; 0; 3}

10. Заданы точки A(-2; 4; 0), B(1; 3; -5), C(0; -1; 1) и вектор .

Вычислить скалярное произведение векторов и .

11. Найти орт , перпендикулярный векторам и .

12. Заданы векторы , и . Какую тройку

(левую или правую) образуют векторы , и ?

13. Даны две вершины треугольника А(5; -2) и B(-4; 1); его высоты

пересекаются в точке N(3; 2). Найти координаты третьей вершины С.

14. Через точку M(-5; 16; 12) проведены две плоскости: одна из них содержит

ось , другая - ось . Вычислить угол между этими двумя плоскостями.

15. Указать особенность в расположении прямой

16. Найти точку В, симметричную точке А(1; 2; 0) относительно плоскости

2x – 3y + 5z = 5.

1. 2. , ,

3. , 4.

5.

6. 7. 8.

9. ={5; 15; 0}, ={1; 0; 5}, ={-1; 3; 2} и ={0; -1; 1}

10. Определить угол между векторами и .

11. Вычислить векторное произведение векторов и , если

, .

12. Проверить, лежат ли точки А(5; 2; 0), В(2; 5; 0), С(1; 2; 4) и D(-1; 1; 1) в

одной плоскости?

13. Найти точку В, симметричную точке А(4; -3) относительно прямой,

проходящей через точки М(1; -2) и N(-3; 2).

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения

плоскостей 4x – y + 3z – 6 = 0 и x + 5y – z +10 = 0 и перпендикулярной к

плоскости 2x – y + 5z – 5 = 0.

15. При каких значениях коэффициентов B и D прямая

лежит в плоскости ?

16. Найти точку пересечения прямой x = 2t – 1, y = t + 2, z = 1 – t c плоскостью

3x – 2y + z - 3 = 0.

1. 2. , , С=

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={6; -1; 7}, ={1; -2; 0}, ={-1; 1; 3} и ={1; 0; 4}

10. Найти угол между векторами и , если А(-4; -2; 0), В(-1; -2; 4) и С(3; -2; 1).

11. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и

.

12. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А(2; -1; -2), В(1; 2; 1),

С(5; 0; -6) и D(-10; 9; -7).

13. Найти проекцию точки Р(4; 5) на прямую, проходящую через точки А(3; -2)

и В(6; -1).

14. Найти угол между плоскостью, проходящей через точки О(0; 0; 0),

A(a; -a; 0) и B(a; a; a), и плоскостью .

15. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты в уравнениях

прямой , чтобы прямая пересекала ось ?

16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямые

и .

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. ={-1; 7; -4}, ={-1; 2; 1}, ={2; 0; 3} и ={1; 1; -1}

10. Найти угол между векторами и , если А(2; 1; -1), В(6; -1; -4) и

С(4; 2; 1).

11. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и

.

12. Проверить, лежат ли точки А(5; 2; 0), В(2; 5; 0), С(1; 2; 4) и D(-1; 1; 1) в

одной плоскости?

13. Даны две смежные вершины А(5; -2) и В(3; 1) параллелограмма ABCD и

точка Q(0; 2) пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон BC и

CD и прямой, проходящей через точку Q параллельно стороне ВС.

14. Написать уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через

точки A(2; 2; 0) и B(4; 0; 0).

15. Указать особенность в расположении прямой .

16. Найти проекцию точки М(3;1;-1) на плоскость x + 2y + 3z – 30 = 0.

1. 2. , ,

3. , 4.

5. =

6. 7. 8.

9. ={6; 5; -14}, ={1; 1; 4}, ={0; -3; 2} и ={2; 1; -1}

10. Вычислить проекцию вектора на направление вектора , где

А(7; 3; -2), В(8; 2; -2).

11. Раскрыть скобки и упростить выражение .

12. Проверить, будут ли компланарны векторы , ,

?

13. Вершины треугольника А(-3; 3), В(5; 1), С(6; -2). Составить уравнения:

а) медианы, проведенной из вершины С;

б) высоты, опущенной из вершины А на сторону BC.

14. Найти угол между плоскостями x – 2y + 2z – 8 = 0 и x + z – 6 = 0.

15. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки М(-1; 2; 3) на

ось .

16. Через точку М(1;-1; 2) провести плоскость так, чтобы она была параллельна

прямым и .

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7.

8.

9. ={-15; 5; 6}, ={0; 5; 1}, ={3; 2; -1} и {-1; 1; 0}

10. Заданы точки А(-2; 4; 0), В(1; 3; -5) и С(0; -1; 1) и вектор .

Вычислить скалярное произведение векторов ( ) и ).

11. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах

и .

12. Какую тройку (левую или правую) образуют векторы , и ,

если А(1; 1; -1), В(2; 3; 1), С(3; 2; 1) и D(5; 9; 8).

13. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M(1; -4) и

a) параллельной прямой 2x – 3y = 1;

б) перпендикулярной прямой 5x – 7y + 3 = 0.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M(-1; -1; 2) и

перпендикулярной к плоскостям x – 2y + z – 4 = 0 и x + 2y - 2z + 4 = 0.

15. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M(-1; 3; 2)

параллельно оси .

16. Найти проекцию точки A(2; 3; 4) на прямую x = y = z.

1. 2. , ,

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={8; 9; 4}, ={1; 0; 1}, ={0; -2; 1} и {1; 3; 0}

10. Найти работу силы на перемещении , если , ,

.

11. Заданы точки А(0; 2; 0), В(3; 0; -4), С(2; 1; 1) и D(-1; -1; -1). Вычислить

векторное произведение векторов ( ) и .

12. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах , , .

13. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма: x - y -1 = 0;

x – 2y = 0 и точка пересечения его диагоналей М(3; -1). Найти уравнения

двух других сторон параллелограмма.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось и точку

M(2; -4; 3).

15. Найти угол между прямыми: и .

16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую

и точку M(3; 4; 0).

1. 2. , ,

3. , 4. 5.

6. 7. 8.

9. ={23; -14; -30}, ={2; 1; 0}, ={1; -1; 0} и {-3; 2; 5}

10. Определить угол между векторами и .

11. Найти вектор , зная, что он удовлетворяет условию и

перпендикулярен векторам и .

12. Найти объём тетраэдра, построенного на векторах ,

и .

13. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку М(-2; 6) и

составляющей с осью угол, вдвое меньший угла, который составляет с

осью прямая y – 3x + 5 = 0.

14. Написать уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через

точки А(0; 1; 3) и В(2; 4; 5).

15. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку

М(1; 2; -3) параллельно прямой: .

16. При каких значениях и прямая лежит в плоскости

x + 2y – z + 1 = 0.

1. 2. , ,

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={3; 1; 3}, ={2; 1; 0}, ={1; 0; 1} и {4; 2; 1}

10. Найти скалярное произведение векторов и , если

, и угол между векторами и равен .

11. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(1; 1; 1), B(2; 3; 4) и

C(4; 3; 2).

12. Найти объём тетраэдра, построенного на векторах , ,

.

13. Вершины треугольника A(1; 4), B(2; 5), C(5; -2). Найдите точку пересечения

стороны АВ с перпендикуляром, восстановленным из середины стороны АС.

14. Даны точки А(1; 3; -2) и В(7; -4; 4). Через точку В провести плоскость,

перпендикулярную к отрезку АВ.

15. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(-4; 3; 0) и

параллельной прямой .

16. При каких значениях коэффициентов и плоскость x + y – 2z + 1 = 0

перпендикулярна прямой ?

1. 2. , ,

3. , 4.

5.

6. 7. 8.

9. ={-1; 7; 0}, ={0; 3; 1}, ={1; -1; 2} и {2; -1; 0}.

10. Найти угол между векторами и , если A(3; 3; -1), B(5; 1; -2) и

C(4; 1; 1).

11. А(1; 0; -3), B(-2; 1; -1), C(2; -1; 0) и D(3; -3; 3). Найти векторное

произведение векторов и .

12. Проверить, лежат ли в одной плоскости точки с координатами А(1; 1; 1),

B(2; 3; 1), C(3; 2; 1) и D(5; 9; 8).

13. В равнобедренном прямоугольном треугольнике даны координаты вершины

острого угла (1; -2) и уравнение противолежащего катета: 3x – 4y + 2 = 0.

Составить уравнения двух других сторон треугольника.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(-1; -2; 0) и

В(1; 1; 2) и перпендикулярный к плоскости x + 2y + 2z – 4 = 0 .

15. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку

М(2; 3; -1) параллельно вектору =(5; -3; 2).

16. При каком значении коэффициента плоскость x + 2y – z + 3 = 0

параллельна прямой ?

1. 2. , ,

3. , 4. 5. =

6. 7. 8.

9. ={11; -1; 4}, ={1; -1; 2}, ={3; 2; 0} и {-1; 1; 1}.

10. Вычислить площадь треугольника АВС, если A(1; -2; 2), B(1; 4; 0) и

C(-4; 1; 1).

11. Найти угол между векторами и , если А(2; 3; 2), B(-1;-3;-1),

C(-3;-7;-3).

12. Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах , и ,

если А(5; 2; 0), B(2; 5; 0), C(1; 2; 4) и D(-1; 1; 1).

13. Вершины треугольника А(2; 0), B(5; 3), C(3; 7). Найти уравнение прямой,

проходящей через вершину В и параллельной медиане АМ треугольника.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (1; -1; 2),

(2; 1; 2) и (1; 1; 4).

15. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(1; -1; 0) и

перпендикулярной к плоскости 2x – 4y + z = 3.

16. При каком значении прямая параллельна плоскости

2x + y – z = 0?

1. 2. , ,

3. , 4.

5.

6. 7. 8.

9. ={-13; 2; 18}, ={1; 1; 4}, ={-3; 0; 2} и {1; 2; -1}.

10. Вычислить проекцию вектора на ось вектора .

11. Найти орт , перпендикулярный векторам и .

12. Проверить, лежат ли точки А(2; 3; 1), B(4; 1; -2), C(6; 3; 7) и D(7; 5; -3) в

одной плоскости.

13. Вершины треугольника А(0; 4), B(2; -3), C(-4; 5). Составить уравнение

высоты, опущенной из вершины С на медиану, проведенную из вершины А.

14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 1; 1):

а) перпендикулярно и б) параллельно плоскости 2x + 4y + z – 5 = 0.

15. Найти угол между прямыми и .

16. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(2; 3; -1) и

перпендикулярной к плоскости 2x + 4y – 3z = 2.

1. 2. , ,

3. , 4.

5. =

6. 7. 8.

9. ={0; -8; 9}, ={0; -2; 1}, ={3; 1; -1} и {4; 0; 1}.

10. Определить внешний угол при вершине А треугольника АВС, если

А(3; 2; -3), B(5; 1; -1) и C(1; -2; 1).

11. Вычислить площадь треугольника АВС, если А(1; -2; 2), B(-5; -5; 3),

C(-4; 1; 1).

12. Будут ли компланарны векторы , и ?

13. Вершины треугольника А(2; -1), B(4; 5), C(-3; 2). Написать уравнение

прямой, проходящей через начало координат и центр тяжести треугольника

АВС.

14. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М(2; -1; 1)

перпендикулярно плоскостям 2x - y + 3z – 1 = 0 и x + 2y + z = 0.

15. Составить каноническое уравнение прямой .

16. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; -1; 3)

перпендикулярно прямой .