Задача 9.
Date: 2015-10-07; view: 495.
Три отрасли промышленности I, II и III являются производителями и в тоже время потребителями некоторой продукции. Их взаимосвязь определяет матрица А коэффициентов прямых затрат:
Известен вектор Y объемов конечной продукции:
,
то есть конечный продукт, полученный первой производящей отраслью y1 = 1000 ед., второй – y2 = 800 ед., третьей – y3 = 700 ед.
1. Составим уравнение межотраслевого баланса. Для этого введем вектор валового продукта:
где х1 – объем валовой продукции I отрасли
х2 – объем валовой продукции II отрасли
х3 – объем валовой продукции III отрасли
Уравнение межотраслевого баланса в матричном виде имеет вид:
Х = АХ + Y (*)
Записав его с учетом исходных условий задачи, в виде системы алгебраических уравнений получим:
(1)
2. Для удобства решения системы (1) вначале запишем ее в общем виде:
Решение проведем методом последовательного исключения неизвестных (методом Гаусса) с точностью до двух знаков после запятой.
Из последней системы получим:
х3 » 2311,11
х2 » 4800 + 3× 2311,11 = 2133,33
х1 » - 1750 + 2× 2311,11 – 0,25 × 2133,33 = 2338,89
Таким образом объем валовой продукции каждой из трех производящих отраслей в стоимостном выражении:
х1 » 2338,89 ед.
х2 » 2133,33 ед.
х3 » 2311,11 ед.
3. Составим матрицу Х потоков средств производства, зная что х ij = а ij× х j, (i,j=1,2,3)
x11 = 0,2×2338,89 = 467,78 
x12 = 0,3×2133,33 = 640
x13 = 0,1×2311,11 = 231,11
x21 = 0 × 2338,89 = 0
x22 = 0,3×2133,33 = 640
x23 = 0,3×2311,11 = 693,33
x31 = 0,4×2338,89 = 935,56
x32 = 0,1×2133,33 = 213,33
x33 = 0,2×2311,11 = 462,22
Матрица 
4. Вычислим общие доходы каждой потребляющей отрасли:
P1 = 2338,89 - (467,78 + 935,56) = 935,55
P2 = 2133,33 - (640 + 640 + 213,33) = 640
P3 = 2311,11 - (231,11 + 693,33 + 462,22) = 924,45
5. Составим таблицу межотраслевого баланса:
| Потребляющие отрасли Производящие отрасли | I | II | III | Конечный продукт | Валовой продукт |
| I | 467,78 | 231,11 | 2338,89 | ||
| II | 693,33 | 2133,33 | |||
| III | 935,56 | 213,33 | 462,22 | 2311,11 | |
| Общий доход | 935,55 | 924,45 | |||
| Валовой продукт | 2338,89 | 2133,33 | 2311,11 |
6. Матричное уравнение (*) легко приводится к виду (E - A)X = Y, откуда следует уравнение X = (E - A)-1×Y, дающее иную возможность вычислить вектор валового продукта. Матрица Аn = (E - A)-1 называется матрицей коэффициентов полных затрат.
Для вычисления матрицы Аn вначале находится матрица:
Определитель этой матрицы:
det (E-A) = 0,8×0,7×0,8-0,3×0,3×0,4-0,4×0,7×0.1-0,1×0,3×0,8 = 0,36 ¹ 0
Затем вычисляются алгебраические дополнения Аij матрицы (E-A)
= 0,25 
По правилу вычисления обратной матрицы находим:
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка | | | Задание по математике на летние каникулы 2013 – 2014 учебного года |