![]() |
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРАDate: 2015-10-07; view: 477. Задания к выполнению типового расчета.В примере 1 вычислить определитель, используя его свойства. В примере 2 найти произведение матриц А∙В (если нет других указаний по выполнению этого примера). В примере3 найти ранг матрицы. В примере 4 решить систему линейных уравнений: а) матричным методом; б) методом Гаусса; В примере 5 установить совместимость систем уравнений и решить их, если они совместимы.
Примерный типовой вариант 0.1.Вычислить определитель. 0.2.Найти произведение матриц А∙В: а) б) 0.3.Найти ранг матрицы: 0.4.Решить систему линейных уравнений: а) матричным методом; б) методом Гаусса. 0.5.Установить совместность систем уравнений и решить их, если они совместны: а)
Решение примеров типового варианта
0.1.Вычислить определитель [I, гл. V, пп 23.3, 24.4]. Р е ш е н и е: Из элементов второго столбца вычтем удвоенные элементы первого столбца; из элементов третьего столбца вычтем утроенные элементы первого столбца: Разложим определитель по элементам первой строки Вынесем за знак определителя общие множители второй и третьей строки Из элементов второго столбца вычтем удвоенные элементы первого столбца; из элементов третьего столбца вычтем утроенные элементы первого столбца Разложим определитель по элементам первой строки
0.2.Найти произведение матриц А ∙ В; [I, гл. V, п. 24.2] а) б) Р е ш е н и е: а) б)
0.3.Найти ранг матрицы: [I, гл. V, пп 25.2, 25.2] Р е ш е н и е: 1. отбросим последний столбец с нулевыми элементами. 2. Все элементы третьей строки разделим на 2. 3. Из элементов третьей строки вычтем элементы первой. 4. Отбросим последнюю строку с нулевыми элементами. Так как для последней матрицы существует минор второго порядка, отличный от нуля, например
0.4.Решить систему линейных уравнений: а) матричным методом; [I, гл. V, п. 26.3] б) методом Гаусса. [I, гл. V, п. 26.5] Р е ш е н и е: Обозначим:
а) решение матричным методом: Прежде всего найдем матрицу А-1, обратную матрице А. [I, гл, V, п. 25.3] Определитель матрицы А: Так, как Алгебраические дополнения всех элементов:
Отсюда Тогда и, следовательно х1 = 2; х2 = -5; х3 = 3; Решение можно получить и с помощью формул Крамера [I, гл. V, п. 26.4] б) Решение методом Гаусса Составим расширенную матрицу и выполним над ней элементарные преобразования, указанные в методе Гаусса: Здесь выполняются следующие преобразования: - вторая строка умножена на 2; - из второй и третьей строк вычтем первую. Последней матрице соответствует ступенчатая система уравнений: х3 = 3, х2 = 10 – 5х3 = 10 – 15 = –5,
0.5.Установить совместность систем уравнений и решить их, если они совместны: [I, гл. V, пп 26.2, 26.5] а) Р е ш е н и е: а) Запишем матрицу коэффициентов системы А и расширенную матрицу системы В:
Вертикальной чертой мы отделим элементы матрицы системы (матрицы А) от свободных членов системы. Определим ранги матрицы А и В. Очевидно,
Минор третьего порядка матрицы А следовательно, ранг матрицы А
Итак, б) Посчитаем ранги матрицы А и расширенной матрицы В. Имеем:
Отсюда следует, что
Следовательно
«Обратным ходом» метода Гаусса из последнего уравнения системы находим из предпоследнего из первого Итак,
в)
Отсюда
Так как, например, неизвестные х1 и х2 – свободные неизвестные. Тогда система примет вид: После элементарных преобразований получим общее решение исходной системы Полагая, например, ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ 1. вариант
|