Студопедия
rus | ua | other

Home Random lecture






ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА


Date: 2015-10-07; view: 477.


Задания к выполнению типового расчета.В примере 1 вычислить определитель, используя его свойства.

В примере 2 найти произведение матриц А∙В (если нет других указаний по выполнению этого примера).

В примере3 найти ранг матрицы.

В примере 4 решить систему линейных уравнений:

а) матричным методом; б) методом Гаусса;

В примере 5 установить совместимость систем уравнений и решить их, если они совместимы.

 

Примерный типовой вариант

0.1.Вычислить определитель.

0.2.Найти произведение матриц А∙В:

а)

б)

0.3.Найти ранг матрицы:

0.4.Решить систему линейных уравнений:

а) матричным методом;

б) методом Гаусса.

0.5.Установить совместность систем уравнений и решить их, если они совместны:

а) б) в)

 

Решение примеров типового варианта

 

0.1.Вычислить определитель [I, гл. V, пп 23.3, 24.4].

Р е ш е н и е: Из элементов второго столбца вычтем удвоенные элементы первого столбца; из элементов третьего столбца вычтем утроенные элементы первого столбца:

Разложим определитель по элементам первой строки

Вынесем за знак определителя общие множители второй и третьей строки

Из элементов второго столбца вычтем удвоенные элементы первого столбца; из элементов третьего столбца вычтем утроенные элементы первого столбца

Разложим определитель по элементам первой строки

 

0.2.Найти произведение матриц А ∙ В; [I, гл. V, п. 24.2]

а)

б)

Р е ш е н и е:

а)

б)

 

0.3.Найти ранг матрицы: [I, гл. V, пп 25.2, 25.2]

Р е ш е н и е:

1. отбросим последний столбец с нулевыми элементами.

2. Все элементы третьей строки разделим на 2.

3. Из элементов третьей строки вычтем элементы первой.

4. Отбросим последнюю строку с нулевыми элементами.

Так как для последней матрицы существует минор второго порядка, отличный от нуля, например

 

0.4.Решить систему линейных уравнений:

а) матричным методом; [I, гл. V, п. 26.3]

б) методом Гаусса. [I, гл. V, п. 26.5]

Р е ш е н и е: Обозначим:

- матрица коэффициентов при неизвестных,

- матрица неизвестных,

- матрица свободных членов.

а) решение матричным методом:

Прежде всего найдем матрицу А-1, обратную матрице А. [I, гл, V, п. 25.3]

Определитель матрицы А:

Так, как матрица имеет обратную ей матрицу.

Алгебраические дополнения всех элементов:

Отсюда

Тогда

и, следовательно х1 = 2; х2 = -5; х3 = 3;

Решение можно получить и с помощью формул Крамера [I, гл. V, п. 26.4]

б) Решение методом Гаусса

Составим расширенную матрицу и выполним над ней элементарные преобразования, указанные в методе Гаусса:

Здесь выполняются следующие преобразования:

- вторая строка умножена на 2;

- из второй и третьей строк вычтем первую.

Последней матрице соответствует ступенчатая система уравнений:

х3 = 3, х2 = 10 – 5х3 = 10 – 15 = –5,

 

0.5.Установить совместность систем уравнений и решить их, если они совместны: [I, гл. V, пп 26.2, 26.5]

а) б) в)

Р е ш е н и е:

а) Запишем матрицу коэффициентов системы А и расширенную матрицу системы В:

Вертикальной чертой мы отделим элементы матрицы системы (матрицы А) от свободных членов системы. Определим ранги матрицы А и В. Очевидно, , а . Произведем необходимые элементарные преобразования над матрицей В.

.

Минор третьего порядка матрицы А

следовательно, ранг матрицы А , а минор

, т.е. .

Итак, , т.е. данная система решений не имеет.

б)

Посчитаем ранги матрицы А и расширенной матрицы В.

Имеем:

,

Отсюда следует, что , но минор третьего порядка матрицы А

.

Следовательно , т.е. данная система совместна. Но последняя матрица

- это расширенная матрица системы

.

«Обратным ходом» метода Гаусса из последнего уравнения системы находим ;

из предпоследнего ;

из первого .

Итак,

.

 

в)

.

Отсюда , , следовательно система имеет бесчисленное множество решений. Последняя матрица есть расширенная матрица системы

.

Так как, например, , то в качестве базисных неизвестных можно взять, х1 и х2, коэффициенты при которых входят в базисный минор;

неизвестные х1 и х2 – свободные неизвестные. Тогда система примет вид:

После элементарных преобразований получим общее решение исходной системы

Полагая, например, , получим , т.е. некоторое частное решение системы уравнений.


ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

1. вариант


<== previous lecture | next lecture ==>
 | The Nature of Business
lektsiopedia.org - 2013 год. | Page generation: 0.24 s.