ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Date: 2015-10-07; view: 477.
Задания к выполнению типового расчета.В примере 1 вычислить определитель, используя его свойства.
В примере 2 найти произведение матриц А∙В (если нет других указаний по выполнению этого примера).
В примере3 найти ранг матрицы.
В примере 4 решить систему линейных уравнений:
а) матричным методом; б) методом Гаусса;
В примере 5 установить совместимость систем уравнений и решить их, если они совместимы.
Примерный типовой вариант
0.1.Вычислить определитель.
0.2.Найти произведение матриц А∙В:
а)
б)
0.3.Найти ранг матрицы:
0.4.Решить систему линейных уравнений:
а) матричным методом;
б) методом Гаусса.
0.5.Установить совместность систем уравнений и решить их, если они совместны:
а) 
б) 
в) 
Решение примеров типового варианта
0.1.Вычислить определитель [I, гл. V, пп 23.3, 24.4].
Р е ш е н и е: Из элементов второго столбца вычтем удвоенные элементы первого столбца; из элементов третьего столбца вычтем утроенные элементы первого столбца:
Разложим определитель по элементам первой строки
Вынесем за знак определителя общие множители второй и третьей строки
Из элементов второго столбца вычтем удвоенные элементы первого столбца; из элементов третьего столбца вычтем утроенные элементы первого столбца
Разложим определитель по элементам первой строки
0.2.Найти произведение матриц А ∙ В; [I, гл. V, п. 24.2]
а)
б)
Р е ш е н и е:
а) 
б) 
0.3.Найти ранг матрицы: [I, гл. V, пп 25.2, 25.2]
Р е ш е н и е:
1. отбросим последний столбец с нулевыми элементами.
2. Все элементы третьей строки разделим на 2.
3. Из элементов третьей строки вычтем элементы первой.
4. Отбросим последнюю строку с нулевыми элементами.
Так как для последней матрицы существует минор второго порядка, отличный от нуля, например 
0.4.Решить систему линейных уравнений:
а) матричным методом; [I, гл. V, п. 26.3]
б) методом Гаусса. [I, гл. V, п. 26.5]
Р е ш е н и е: Обозначим:
- матрица коэффициентов при неизвестных,
- матрица неизвестных,
- матрица свободных членов.
а) решение матричным методом:
Прежде всего найдем матрицу А-1, обратную матрице А. [I, гл, V, п. 25.3]
Определитель матрицы А:
Так, как 
матрица имеет обратную ей матрицу.
Алгебраические дополнения всех элементов:
Отсюда 
Тогда
и, следовательно х1 = 2; х2 = -5; х3 = 3;
Решение можно получить и с помощью формул Крамера [I, гл. V, п. 26.4]
б) Решение методом Гаусса
Составим расширенную матрицу и выполним над ней элементарные преобразования, указанные в методе Гаусса:
Здесь выполняются следующие преобразования:
- вторая строка умножена на 2;
- из второй и третьей строк вычтем первую.
Последней матрице соответствует ступенчатая система уравнений:
х3 = 3, х2 = 10 – 5х3 = 10 – 15 = –5, 
0.5.Установить совместность систем уравнений и решить их, если они совместны: [I, гл. V, пп 26.2, 26.5]
а) 
б) в)
Р е ш е н и е:
а) Запишем матрицу коэффициентов системы А и расширенную матрицу системы В:
Вертикальной чертой мы отделим элементы матрицы системы (матрицы А) от свободных членов системы. Определим ранги матрицы А и В. Очевидно, 
, а 
. Произведем необходимые элементарные преобразования над матрицей В.
.
Минор третьего порядка матрицы А
следовательно, ранг матрицы А 
, а минор
, т.е. 
.
Итак, 
, т.е. данная система решений не имеет.
б)
Посчитаем ранги матрицы А и расширенной матрицы В.
Имеем:
,
Отсюда следует, что 
, но минор третьего порядка матрицы А
.
Следовательно 
, т.е. данная система совместна. Но последняя матрица
- это расширенная матрица системы
.
«Обратным ходом» метода Гаусса из последнего уравнения системы находим 
;
из предпоследнего 
;
из первого 
.
Итак,
.
в)
.
Отсюда 
, 
, следовательно система имеет бесчисленное множество решений. Последняя матрица есть расширенная матрица системы
.
Так как, например, 
, то в качестве базисных неизвестных можно взять, х1 и х2, коэффициенты при которых входят в базисный минор;
неизвестные х1 и х2 – свободные неизвестные. Тогда система примет вид:
После элементарных преобразований получим общее решение исходной системы
Полагая, например, 
, получим 
, 
т.е. некоторое частное решение системы уравнений.
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
1. вариант
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| | | The Nature of Business |