Матрицы
Date: 2015-10-07; view: 352.
1. Матрицы и их типы
Матрица – это совокупность чисел или объектов другой природы, расположенных в виде прямоугольной таблицы.
.
m строк n столбцов
Размер матрицы 
.
.
Мы будем рассматривать конечные матрицы с числовыми элементами.
Классификация по размеру
1) 
– матрица-столбец.
2) 
– матрица-строка.
3) 
, т.е. 
– квадратная матрица.
Элементы 
, где 
– образуют главную диагональ.
4) Квадратная матрица, все элементы которой вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной.
.
5) Если в диагональной матрице все 
, то такая матрица называется единичной.
.
Единичную матрицу удобно обозначать с помощью символа Кронекера
.
6) Нулевая матрица
.
У нее все элементы равны нулю.
Транспонирование матрицы – это преобразование, состоящее в замене строк столбцами. Получим транспонированную матрицу.
Например.
.
Очевидно свойство
.
Если 
, то матрица называется симметричной. И у нее
,
т.е. равны элементы, симметричные относительно главной диагонали.
Если 
, то матрица называется кососимметричной. У нее
.
Очевидно, что у такой матрицы элементы главной диагонали равны нулю.
Для равенства матриц необходимо и достаточно, чтобы они были одинакового размера и чтобы элементы, стоящие на одинаковых местах были равными.
2. Операции над матрицами
1) Сумма матриц.
Матрицы одинаковых размеров можно складывать, при этом получаем матрицу того же размера, что и слагаемые, а элементы ее образуются сложением элементов, стоящих на одинаковых местах
.
Пример.
.
Эта операция обладает свойствами:
1) Коммутативность
.
2) Ассоциативность
.
3) 
.
4) 
, 
;
, .
2) Произведение матрицы на число.
Любую матрицу можно умножить на число (скаляр), при этом получаем матрицу того же размера, а элементы ее получаются умножением на заданное число всех элементов данной матрицы.
.
Пример.
.
Свойства этой операции:
1) Дистрибутивность относительно матричной суммы
.
2) Дистрибутивность относительно скалярной суммы
.
3) Ассоциативность относительно произведения скаляров
.
4) Существование элемента нейтрального относительно умножения на скаляр
.
3) Умножение матриц.
а) Умножение строки на столбец.
Это возможно, если число элементов в строке равно числу элементов в столбце.
.
Пример.
.
б) Умножение произвольных матриц.
Произведением матрицы 
на матрицу 
является матрица 
размера 
, элемент 
которой равен результату умножения iой строки матрицы А на kый столбец матрицы В
.
Пример.
.
Ясно, что умножать матрицы можно не всегда, а с точки зрения их размеров.
Правило размеров:
.
Поэтому в общем случае произведение матриц не коммутативно.
.
Если же 
, то такие матрицы называются коммутирующими. Однако, если операция произведения осуществима, то будут справедливы следующие свойства:
1) Ассоциативность
.
2) Дистрибутивность.
или
.
Рассмотрим выполнение заданий на действие с матрицами.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Решение задания 10. | | | Решение |