Решение задания 10.

Date: 2015-10-07; view: 400.

Задание 10

Найти ранг матрицы .Если у Вас получился иной результат чем r(A) = 3, то рассмотрите решение задания 10.

Посредством последовательных элементарных преобразований над данной матрицей получим следующую систему эквивалентных матриц:

~ ~

~ ~ ~

~ ~ ~

~ ~ .

Следовательно, ранг данной матрицы равен трем.

Ответ: r(A) = 3.

4. Матричная запись систем линейных уравнений. Обратная матрица

Первоначально матрицы были введены для упрощения записи систем линейных уравнений. Это и обусловило определение основных матричных операций.

Пусть дана система т линейных уравнений с n неизвестными.

(1)

В матричной форме:

(2)

|| || ||

А ∙ Х = В

А – матрица системы;

Х – матрица неизвестных;

В – матрица свободных членов.

Получим сокращенную запись системы:

(3)

Будем рассматривать систему n-линейных уравнений с n неизвестными. В этом случае А – квадратная матрица размера . Если эта матрица невырожденная, то ее ранг равен n.

Введем понятие обратной матрицы.

В алгебре два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными.

.

Имеет место некоторая аналогия и для матричной алгебры.

Определение.

Две квадратные матрицы, произведение которых равно единичной матрице, называются взаимно обратными.

Обозначение .

По определению

.

Теперь, используя обратную матрицу, решим матричное уравнение (3). Для этого умножим обе части (3) на .

;

;

. (4)

Это и есть матричное решение системы уравнений.

Значит решение системы сводится к отысканию обратной матрицы и ее умножению на матрицу свободных членов.

Теорема (существования и единственности обратной матрицы).

Если А – квадратная невырожденная матрица, т.е. , то для нее существует единственная обратная матрица .

Доказательство.

Будем рассматривать для простоты матрицу .

.

1. Запишем для А транспонированную матрицу

.

2. Запишем в каждый элемент дополнением. Получим так называемую союзную (присоединенную) матрицу.

.

3. Вычислим произведение .

где .

Аналогично проверим и другое произведение

.

Итак, имеем

,

откуда, т.к. ,

.

Сравнивая это равенство с определением обратной матрицы, можем сказать, что

.

Мы доказали существование обратной матрицы при условии, что . Покажем ее единственность.

От противного:

Предположим, что существуют две различные обратные матрицы для матрицы А. Это и .

Тогда

.

Умножаем обе части на

.

Применяя сочетательное свойство, получим

,

откуда

.

Что противоречит предположению о том, что имеются две различные обратные матрицы.

Из доказанной теоремы следует алгоритм построения обратной матрицы:

1. Вычисляем . Если , то .

2. Транспонируем .

3. Строим заменой .

4. .

Пример. Найти для .

Решение: 1) .

2) .

3) .

4) .

Проверка.

.

Обратная матрица обладает свойствами:

1с) .

Доказательство:

.

2с) .

3с) .

4с) .

Эти свойства доказываются аналогично свойству 1с) и путем вычисления.

Существует и другой способ вычисления обратной матрицы, основанный на элементарных преобразованиях вспомогательной матрицы, которая получается путем приписывания к данной матрице единичной матрицы того же размера.

.

Пример.

.

5. Теорема Кронекера-Капелли

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

Матрица системы:

.

Расширенная матрица системы:

.

Очевидно .

Теорема Кронекера-Капелли утверждает, что

1) система имеет единственное решение (определенна).

2) система имеет бесконечное множество решений (неопределенна)

3) система не имеет решений (несовместна)

Примеры.

1)

~ .

А

определенна.

Решение , , .

2)

.

, .

.

3)

.

, .

бесконечное множество решений.

.

, , .

Рассмотрим выполнение заданий на нахождение обратной матрицы и решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Задание 1

Найти матрицу, обратную матрице .