ЛЕКЦИЯ N1.

Date: 2015-10-07; view: 389.

Эллипс

Опр. – пусть на пл-и зафиксированы 2 точки F1 и F2.

Эллипс- множество точек пл-и, сумма расстояний до которых от точек F1 и F2 есть величина постоянная:MF1+MF2=2a=const, где М – произвольная т. эллипса, точки F1, F2 – фокусы эллипса

F1F2 – фокусное расстояние эллипса (обозначается 2с)

F1F2 ≤ MF1 + MF2, т.е. 2с ≤ 2а. Для эллипса а≥с

Составим уравнение эллипса: введем ск Ось 0х проведем через фокусы F1 и F2. пусть О–середина отрезка F1F2=2c =>

=>F1(-c;0), F2(c;0). Пусть М(х;у) – произвольная точка эллипса. Из определения эллипса MF1 + MF2 = 2a

,

- уравнение эллипса. Преобразим его:

Переносишь один корень вправо и в квадрат. Оставляешь в одной стороне корень и снова в квадрат. Получаем:

a⁴+c²x²=a²c²+a²x²+a²y² => x²(c²-a²)-a²y²=a²(c²-a²)|/a²(c²-a²)≠0 => => , т.к. a>c, то а² – с² > 0. a² - c² обозначим b² - каноническое уравнение эллипса

Свойства эллипса: 1. точки с корд. (а;0), (-а;0), (0;b), (0;-b) называются его вершинами

2. переменные х и у входят в уравнение в четных степенях т.е. 0х и 0у – оси симметрии

3. начало координат – ценр симметрии т.е. если т. М1(х;у)Єэллипсу, то М2(-х;у), М3(х;-у), М4(-х;-у) тоже т. эллипса

4. эллипс лежит в прямоугольнике со сторонами 2а*2b т.е.эллипс – это ограниченная кривая

5. отношение с/а=е≤1(е - эксцентриситет)

Пусть е=0 т.е. с=0. a² – c² = b²., a² – b² = c², c=0, a² = b² , x² + y² = a² – окружнотсь (при е =о)

e=1, то с=а эллипс вырождается в отрезок. е характеризует сплюснутость эллипса, чем ближе е к 1, тем больше сжатие