Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Date: 2015-10-07; view: 496.

Теорема. Для каждой квадратичной формы, заданной в евклидовом пространстве, можно указать (ортонормированный) базис, в котором ее матрица имеет диагональный вид.

Для получения диагонального вида квадратичной формы достаточно найти собственные значения матрицы А=(a_ij) и выписать их с учетом кратности.

Пример. Привести квадратичную форму A(x, x)=2xy+2yz+2xz к диагональному виду.

Запишем матрицу квадратичной формы

и построим ее характеристический многочлен: =-l³+3l+2.

Приравняв полученное выражение к нулю, найдем его корни: l₁=2; l_2,3= -1. Тем самым, A(x, x)=2 .

Построение соответствующего ортобазиса сложнее.

Найдем cобственные векторы матрицы квадратичной формы. Пусть l=2. Рассмотрим однородную линейную систему с матрицей .

Все решения системы

-2x+y+z=0,

x-2y+z=0,

x+y-2x=0

пропорциональны набору (1 1 1)^*.

Пусть l=-1. Однородная линейная система с матрицей сводится к одному уравнению x+y+z=0 и имеет два линейно независимых решения. Выберем их так, чтобы они были ортогональны: (1 –2 1)^*, (1 0 –1)^*. Легко убедиться в том, что векторы с найденными координатными столбцами попарно ортогональны. Пронормируем их:

( )^*, ( - )^*, ( 0 - )^*.

Искомый базис построен: i= , j= , k= .

Замечание. В качестве пространства Е_n можно взять любое n-мерное евклидово пространство. Однако в задачах наиболее часто вcтречается координатное пространство R_n, элементами которого являются всевозможные упорядоченные наборы действительных чисел - x=(x¹,…, xⁿ), стандартный базис состоит из наборов (1, 0,…, 0, 0), (0, 1,…, 0, 0),…, (0, 0,…, 1, 0), (0,0,…, 0, 1), а скалярное произведение наборов x=(x¹,…, xⁿ) и h=(h¹,…, hⁿ) определяется формулой (x× h)=x¹h¹+…+xⁿhⁿ.

Опишем алгоритм, посредством которого для произвольной квадратичной формы, заданной в n-мерном координатном пространстве, строится базис, в котором эта квадратичная форма имеет диагональный вид.

Пусть A(x, x)= - заданная квадратичная форма.

1. Выпишем матрицу квадратичной формы .

2. Построим характеристический многочлен

и найдем его корни (в силу симметричности матрицы все корни вещественны). Запишем их с учетом кратности: l₁£…£l_n.

3. Пусть l - один из этих корней кратности k. Однородная линейная система с матрицей имеет ровно k линейно независимых решений (образующих фундаментальную систему решений). Ортонормировав ее, получим k попарно ортогональных решений единичной длины.

4. Поступая так с каждым корнем характеристического многочлена, получаем набор ровно n попарно ортогональных элементов единичной длины, то есть ортобазис f₁,…, f_n пространства R_n.

5. В построенном ортобазисе f=(f₁,…, f_n) заданная квадратичная форма имеет диагональный вид: A(x, x)=l₁(h¹)²+…+l_n(hⁿ)², где x=h¹f₁+…+hⁿf_n.