Полож. опред. квадратичные формы.

Date: 2015-10-07; view: 655.

Квадратичной формой от неизвестных называется сумма вида где .

Опр.2.Квадратичная форма называется положительно определенной, если она принимает только положительные значения для любых ненулевых векторов.

Лемма.Знак определителя матрицы квадратичной формы не зависит от выбора базиса.

Теорема.Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда ее нормальный вид , то есть если и ранг, и положительный индекс инерции равны числу неизвестных.

Зам. Решить вопрос о том, является ли данная квадратичная форма положительно определенной, возможно и без приведения формы к нормальному виду. Это позволяет сделать критерий Сильвестра. Чтобы понять формулировку этого критерия, нам потребуется

Опр. Пусть — матрица квадратичной формы. Обозначим через минор матрицы А, элементы которого расположены в ее первых k строках и первых k столбцах. Другими словами,

Будем называть эти миноры главными минорами квадратичной формы.

Теорема (критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры строго положительны.

Проведем методом математической индукции по числу переменных. База индукции:

. Очевидно, что эта квадратичная форма будет положительно определенной тогда и только тогда, когда .

Шаг индукции: Предположим, что квадратичная форма от переменных является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все ее главные миноры строго положительные.

Докажем, что это утверждение справедливо и для квадратичной формы от переменных.

Пусть теперь дана квадратичная форма от переменных .

В квадратичной форме соберем все члены, не содержащие переменного , тогда, очевидно, мы получим квадратичную форму f от -переменных. Тогда можно записать в виде

(1)

Покажем, что если является положительно определенной, то также положительно определена. Докажем это методом от противного. Предположим, что - положительно определена, не является положительно определенной. Значит, существуют такие значения переменных, , среди которых не все равны нулю, при которых.

. Полагая дополнительно , подставим в (1). Получим , что невозможно, так как положительно определена. Значит, если положительно определена, значит, также является положительно определенной. Кроме того, очевидно, что главные миноры квадратичной формы являются одновременно главными минорами квадратичной формы .

Необходимость. Пусть является положительно определенной. Докажем, что все главные миноры строго положительны.

Так как положительно определена, значит по доказанному раннее также положительна. Тогда по допущению все главные миноры положительны. Осталось доказать, что

Всякую положительную квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования можно привести к нормальному виду с матрицей , определитель которой равен 1 > 0

По лемме, знак определителя матрицы квадратичной формы не меняется. Значит, .

Достаточность.Пусть строго положительны все главные миноры квадратичной формы . Докажем, что является положительно определенной.

Так как положительны, то по индуктивному предположениюявляется положительно определенной. Следовательно, существует невырожденное линейное преобразование переменных , которое приводит форму

к виду .

Это линейное преобразование можно дополнить до невырожденного линейного преобразования всех неизвестных , полагая х_п =у_п.

Тогда форма приводится указанным преобразованием к виду

(3)

Дополним члены, содержащие до полных квадратов:

или

где

Рассмотрим следующее невырожденное линейное преобразование

которое приводит форму к виду с матрицей , детерминант этой матрицы равен с.

По лемме, знак определителя матрицы квадратичной формы не меняется, так как (по условию), то

Значит, является положительно определенной.