ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ

Date: 2015-10-07; view: 422.

Задача 1.Найти сумму элементов 3-его столбца матрицы В, если

Решение. При умножении матрицы размера на матрицу размера получится матрица размера (3 строки и 4 столбца). Таким образом, в 3-м столбце будет 3 элемента: . Далее, умножение матриц осуществляется по правилу: элемент матрицы , стоящий в i-той строке и к-том столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-той строки матрицы А и к-го столбца матрицы С. То есть, чтобы найти нужно 1-ю строку матрицы А умножить на 3-й столбец матрицы С:

Аналогично, находим

Тогда сумма этих элементов

Задача 2.Найти , если

.

Решение. Вычислим определитель матрицы А:

Так как , то - существует. Обратную матрицу находим по схеме

Здесь - транспонированная матрица, получается из матрицы А, если поменять местами строки и столбцы:

- союзная матрица, состоит из алгебраических дополнений элементов .

Найдем алгебраические дополнения элементов по формуле

где - минор - определитель, остающийся после вычеркивания строки i и столбца j матрицы .

Получим

Итак,

Наконец, находим обратную матрицу

Задача 3.Найти сумму элементов 3-ей строки матрицы , если

Решение. Вычислим определитель матрицы А:

Запишем транспонированную матрицу

Так как надо найти сумму элементов 3-ей строки матрицы , достаточно определить алгебраические дополнения для 3-ей строки матрицы :

Тогда элементы 3-ей строки матрицы :

Их сумма равна

Задача 4.Дана система уравнений

Найти

Решение. Согласно формулам Крамера решение системы определяется соотношениями

Найдем

- определитель из коэффициентов, стоящих перед неизвестными

Чтобы найти , необходимо элементы 3-его столбца определителя заменить на столбец свободных членов системы:

Находим z:

Задача 5.Решить систему уравнений, приняв в качестве базисных переменных y и z:

Решение. Решаем систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы – матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов.

Среди коэффициентов при неизвестных есть 1, ей соответствует переменная z. Назовем z базисной переменной. Исключим базисную переменную z из 2-го уравнения, для чего умножим 1-е уравнение на 5 и сложим со вторым. Получим эквивалентную исходной систему уравнений с матрицей

~

Умножим 2-е уравнение на (-1):

Считая новой базисной переменной у, исключим её из 1-го уравнения. Для этого умножим 2-е уравнение на 2 и сложим с первым:

В каждом уравнении выбирают одну базисную переменную, оставшиеся переменные называют свободными (в данном случае это х).

Запишем систему уравнений, соответствующую последней матрице:

Выразив базисные переменные (у и z) через свободную (х), получим общее решение системы уравнений

Задача 6. Найти

Решение. Воспользуемся формулой

где - скалярное произведение векторов и .

Вычислим :

Найдем модули векторов

Тогда