ПРОГРАММА КУРСА ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ - 2012

Date: 2015-10-07; view: 405.

Высшая школа экономики и менеджмента

Уральский федеральный университет

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

1. Числовые матрицы и арифметические операции над ними.
2. Блочные матрицы и арифметические операции над ними.
3. Определители матриц, что это такое и их простейшие свойства.
4. Теорема о разложении определителя по строке (столбцу).
5. Вычисление определителя приведением матрицы к треугольному виду.
6. Условия равенства определителя нулю.
7. Обратная матрица, условия ее существования и ее простейшие свойства. Формула Крамера.
8. Вычисление обратной матрицы методом Жордана-Гаусса.
9. Ранг прямоугольной матрицы как порядок ее максимальной невырожденной квадратной подматрицы. Простейшие свойства ранга.
10. Зависимость небазисных строк прямоугольной матрицы от ее базисных строк. Ранг как число максимальных линейно независимых наборов строк (столбцов) матрицы.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ)

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Терминология.
2. Матрица и расширенная матрица для СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли.
3. Метод Крамера для решения невырожденных квадратных СЛАУ.
4. Метод Гаусса и метод Жордана-Гаусса решения произвольных СЛАУ.
5. Общее решение однородной СЛАУ. Их фундаментальные системы решений.
6. Представление общего решения неоднородной СЛАУ в виде суммы ее частного решения и общего решения соответствующей однородной СЛАУ.
7. Классификация совместных СЛАУ по рангу их матрицы коэффициентов (недоопределенные и переопределенные системы полного ранга, системы неполного ранга). Матричные формулы решения систем различных типов.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

1. Геометрические векторы и операции над ними (сложение и умножение на число, скалярное произведение). Свойства этих операций.
2. Проекция вектора на ось, определяемую другим вектором, и связь ее величины с их скалярным произведением.
3. Понятие базиса геометрического векторного пространства. Единственность разложения произвольного вектора по векторам заданного базиса.
4. Покоординатное сложение и умножение геометрических векторов на число. Использование координат для вычисления скалярного произведения.
5. Декартова система координат на плоскости и в пространстве. Связь между координатами точки и разложением ее радиус-вектора по координатным ортам.
6. Формула расстояния между двумя точками плоскости и пространства.
7. Деление геометрического отрезка в заданном отношении на плоскости и в пространстве.
8. Различные уравнения прямой на плоскости (параметрическое, каноническое, с угловым коэффициентом, общее и нормальное). Интерпретация их числовых коэффициентов.
9. Вычисление расстояния от точки до прямой на плоскости.
10. Варианты взаимного расположения прямых на плоскости. Углы между ними.
11. Кривые второго порядка на плоскости (окружность, парабола, эллипс, гипербола).
12. Различные уравнения плоскости в пространстве (параметрическое, через определитель, общее, нормальное). Интерпретация их числовых коэффициентов.
13. Расстояние от точки до плоскости.
14. Уравнения прямой в пространстве (каноническое и в виде системы 2-х линейных уравнений).
15. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Углы между ними.
16. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Углы между ними.
17. Уравнения некоторых поверхностей второго порядка в пространстве (сфера, эллипсоид, параболоид, гиперболоиды однополостной и двуполостной, седловые поверхности).

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ

1. Общие (абстрактные) линейные пространства и их аксиоматика. Примеры конкретных линейных пространств (геометрические пространства, пространство многочленов, пространство непрерывных на заданном отрезке функций, пространство товаров и услуг).
2. Базисы и размерность общих линейных пространств. Единственность разложения вектора относительно выбранного базиса. Применение коэффициентов разложения в операциях над векторами.
3. Связь между коэффициентами разложения одного и того же вектора относительно двух различных базисов.
4. Общие евклидовы пространства и их аксиоматика. Примеры конкретных определений скалярного произведения (в том числе для пространства функций, интегрируемых с квадратом).
5. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника.
6. Процедуры нормировки и ортогонализации произвольного базиса в евклидовом пространстве.
7. Ортонормированные базисы. Вычисление скалярного произведения векторов через их координаты относительно некоторого базиса.
8. Понятие подпространства линейного пространства. Разложение пространства в прямую сумму его подпространств. Ортогональное дополнение к подпространству.
9. Изоморфизм линейных и евклидовых пространств. Изоморфность пространств одной размерности.
10. Аффинные многообразия в арифметическом пространстве. Связь с системами линейных алгебраических уравнений.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

1. Определение линейных операторов и действия над ними (сложение, умножение на число, суперпозиция). Нулевой и тождественный операторы.
2. Матрицы линейных операторов.
3. Формулы пересчета матрицы оператора при переходе к другим базисам.
4. Ядро и образ линейного оператора, взаимосвязь их размерностей.
5. Линейный оператор, сопряженный данному. Связь между их матричными представлениями.
6. Характеристический многочлен линейного оператора. Собственные числа и собственные векторы линейных операторов.
7. Билинейные и квадратичные формы в линейном пространстве. Симметрическое матричное представление квадратичной формы в конкретном базисе.
8. Методы приведения (симметрической) матрицы квадратичной формы к диагональному виду. Закон инерции квадратичных форм.
9. Знакоопределенность квадратичных форм. Критерий Сильвестра.

Литература:

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Физматлит, 2002.
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2002.
3. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. СПб.: Профессия, 2002.
4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Физматлит, 2001.
5. Малугин В.А. Математика для экономистов. Линейная алгебра. Курс лекций. М.: Изд-во ЭКСМО. 2006.
6. Малугин В.А. Математика для экономистов. Линейная алгебра. Задачи и упражнения. М.: Изд-во ЭКСМО. 2006.

Лекции и задачник преподавателя