Индивидуальные задания

Date: 2015-10-07; view: 681.

1. Найти НОД следующих многочленов: ,

, .

2. Используя алгоритм Евклида найти многочлены u(х) и v(х) удовлетворяющие равенству – НОД многочленов f(х) и g(х), если: , .

3. С помощью неопределенных коэффициентов найти многочлены u(х) и v(х), такие, , если:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) ,

15) ,

16) ,

17) ,

18) ,

19) ,

20) ,

21) ,

22) ,

23) ,

24) ,

25) , .

4. Пользуясь схемой Горнера вычислить и разложить многочлен

по степеням двучлена .

5. Доказать, что:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)	21)
22)	23)	24)
25)

6. Остатки от деления многочлена на двучлены и равны соответственно и . Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

7. Найти остаток от деления многочлена на многочлен .

8. Доказать, что если то где - вторая цифра варианта.

9. Разложить многочлен в произведение многочленов не выше второй степени с действительными коэффициентами.

10. Представить многочлены в виде суммы квадратов двух многочленов, если а) , b) .

11. Определить кратность корня многочлена . Найти многочлен наибольшей степени с простыми корнями, каждый корень которого является корнем многочлена , где:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) , ;

7) , ;

8) , ;

9) , ;

10) , ;

11) , ;

12) , ;

13) , ;

14) , ;

15) , ;

16) , ;

17) , ;

18) , ;

19) , ;

20) , ;

21) , ;

22) , ;

23) , ;

24) , ;

25) , .

12. Зная, что многочлен имеет корень а, найти остальные его корни, если:

1) , ;	2) , ;
3) , ;	4) , ;
5) , ;	6) , ;
7) , ;	8) , ;
9) , ;	10) , ;
11) , ;	12) , ;
13) , ;	14) , ;
15) , ;	16) , ;
17) , ;	18) , ;
19) , ;	20) , ;
21) , ;	22) , ;
23) , ;	24) , ;
25) , .

13. Доказать, что число - иррациональное.

14. Найти рациональные корни многочлена .

15. Найти ненулевые целочисленные решения уравнения

.

16. Найти а) многочлен и б) многочлен с действительными коэффициентами , наименьшей степени, имеющие простой корень , корень кратности 2.

17. Многочлен при делении на многочлен дает остаток . Какой остаток дает многочлен при делении на многочлен

18. Доказать, что многочлен делится на многочлен , где .

19. Корни многочлена образуют арифметическую (геометрическую) прогрессию. Найти а, и корни многочлена , если:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;
9) ;	10) ;
11) ;	12) ;
13) ;	14) ;
15) ;	16) ;
17) ;	18) ;
19) ;	20) ;
21) ;	22) ;
23) ;	24) ;
25) .

20. При каких натуральных будет простым следующее число:

1) ;	2) ;	3) ;	4) ;
5) ;	6) ;	7) ;	8) ;
9) ;	10) ;	11) ;	12) ;
13) ;	14) ;	15) ;	16) ;
17) ;	18) ;	19) ;	20) ;
21) ;	22) ;	23) ;	24) ;
25) .

21. Решить уравнение в поле комплексных чисел:

1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ;
7) ;	8) ;	9) ;
10) ;	11) ;	12) ;
13) ;	14) ;	15) ;
16) ;	17) ;	18) ;
19) ;	20) ;	21) ;
22) ;	23) ;	24) ;
25) .

22. Отделить кратные множители многочлена:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;
9) ;	10) ;
11) ;	12) ;
13) ;	14) ;
15) ;	16) ;
17) ;	18) ;
19) ;	20) ;
21) ;	22) ;
23) ;	24) ;
25) .

23. Даны многочлены и

a) Определить число действительных корней каждого.

b) С помощью теоремы Штурма найдите промежуток , где , содержащий наибольший положительный корень многочлена в задачах 1 – 6; наименьший положительный корень многочлена в задачах 7 – 11; наибольший отрицательный корень многочлена в задачах 12 – 16; наименьший отрицательный корень многочлена в задачах 17 – 25.

c) Вычислить с точностью 0,0001 корень пользуясь методом линейной интерполяции и методом Ньютона.

d) С помощью калькулятора по схеме Горнера найдите значение многочлена от найденного приближенного значения корня .

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) , ;

6) , ;

7) , ;

8) , ;

9) , ;

10) , ;

11) , ;

12) , ;

13) , ;

14) , ;

15) , ;

16) , ;

17) , ;

18) , ;

19) , ;

20) , ;

21) , ;

22) , ;

23) , ;

24) , ;

25) , .

24. Исследовать данный многочлен на приводимость в поле рациональных чисел:

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;
9) ;	10) ;
11) ;	12) ;
13) ;	14) ;
15) ;	16) ;
17) ;	18) ;
19) ;	20) ;
21) ;	22) ;
23) ;	24) ;
25) .

25. Разложить многочлен по степеням .

26. Следующие рациональные дроби представить в виде суммы простейших дробей в поле рациональных чисел: а) ,

b) , c) , d) .

27. Пользуясь схемой Горнера представить в виде суммы простейших дробей в поле рациональных чисел следующую дробь: .

28. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

1) а) ;	b) ;
2) а) ;	b) ;
3) а) ;	b) ;
4) а) ;	b) ;
5) а) ;	b) ;
6) а) ;	b) ;
7) а) ;	b) ;
8) а) ;	b) ;
9) а) ;	b) ;
10) а) ;	b) ;
11) а) ;	b) ;
12) а) ;	b) ;
13) а) ;	b) ;
14) а) ;	b) ;
15) а) ;	b) ;
16) а) ;	b) ;
17) а) ;	b) ;
18) а) ;	b) ;
19) а) ;	b) ;
20) а) ;	b) ;
21) а) ;	b) ;
22) а) ;	b) ;
23) а) ;	b) ;
24) а) ;	b) ;
25) а) ;	b) .

29. Составить уравнение с рациональными коэффициентами, корнем которого является а, если:

1) , если ;

2) , если ;

3) , если ;

4) , если ;

5) , если ;

6) , если ;

7) , если ;

8) , если ;

9) , если ;

10) , если ;

11) , если ;

12) , если ;

13) , если ;

14) , если ;

15) , если ;

16) , если ;

17) , если ;

18) , если ;

19) , если ;

20) , если ;

21) , если ;

22) , если ;

23) , если ;

24) , если ;

25) , если .

30.Решите уравнение в поле комплексных чисел: .

31. Доказать, что многочлен не делится на приведенный (со старшим коэффициентом равным единице) квадратный трехчлен с целыми коэффициентами.

32. Образует ли числовое поле (относительно четырех арифметических операций) множество чисел вида где - рациональные числа, а - один из корней многочлена .

33. Составить с помощью интерполяционной формулы Лагранжа многочлен не выше третьей степени, который в точках с координатами 1, 2, 3, 4 принимает значения соответственно.

34. Выразить симметрический многочлен

через элементарные симметрические многочлены.

35. Вычислить значение симметрической функции

от корней многочлена .

36. Найти сумму квадратов и кубов корней многочлена

.

37. Составить многочлены, имеющие своими корнями: a) квадраты, b) кубы корней многочлена .

38. Найти сумму -х степеней всех корней степени из единицы.

39. Доказать, что не все корни многочлена принадлежат полю действительных чисел.

40.

a) Доказать, что если многочлен является четной функцией, то он не содержит одночленов нечетной степени;

b) Доказать, что многочлен, являющийся нечетной функцией, не содержит одночленов четной степени;

c) Доказать, что многочлен является четной функцией;

d) Найти свободный член и сумму коэффициентов многочлена ;

e) Найти суммы коэффициентов многочлена а) при четных степенях х, б) при нечетных степенях х;

f) Доказать тождества:

,

, где ;

g) При каких значениях параметров a и b многочлен делится нацело на многочлен ;

h) Найти значения a, b, c при которых является трехкратным корнем многочлена ;

i) При каких натуральных

- ;

- ;

j) Число a – корень кратности 4 многочлена . Доказать, что a является простым корнем многочлена ;

k) Доказать, что если , то , при любом натуральном ;

l) Для многочлена соотношение: выполняется для всех . Найти

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. – М.: Физ.-мат. лит. 2004.

2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – Спб.: Лань, 2008.

3. Сборник задач по алгебре. Под. ред. А. И. Кострикина. – М: Физико-математическая литература, 2001.

4. Сборник задач по линейной алгебре / И.В. Проскуряков. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010.

СОДЕРЖАНИЕ