Лінійно залежні та лінійно незалежні системи векторів.

Date: 2015-10-07; view: 726.

Розглянемо довільний векторний простір . Зафіксуємо в ньому деяку підмножину (систему) векторів

. З означення операцій над векторами цього простору випливає можливість утворювати лінійні комбінації векторів, тобто – лінійна комбінація векторів простору . Числа називають коефіцієнтами лінійної комбінації.

Означення 7. Лінійна комбінація називається тривіальною, якщо всі її коефіцієнти рівні нулю.

Зауваження. Очевидно, що тривіальна лінійна комбінація – це нульовий вектор.

Означення 8. Система векторів називається лінійно незалежною, якщо лише тривіальна лінійна комбінація векторів цієї системи рівна нуль-вектору.

Зауваження. Іншими словами, система векторів лінійно незалежна, якщо з того, що випливає: .

Означення 9. Система векторів називається лінійно залежною, якщо існує нетривіальна лінійна комбінація векторів цієї системи, рівна нуль-вектору.

Приклади.

1. – лінійно залежна система, оскільки існує нетривіальна лінійна комбінація .

2. Нехай . Тоді – лінійно незалежна система, оскільки з рівності обов'язково випливає, що .

3. Нехай та два ненульових не колінеарних геометричних вектора. Тоді – лінійно незалежна система векторів. Доведемо це від супротивного, тобто припустимо існування деякої нетривіальної лінійної комбінації цих векторів, яка рівна нулю: . Нехай тут . Тоді , що означає колінеарність векторів. Одержана суперечність свідчить про лінійну незалежність системи векторів .