Однородные СЛАУ

Date: 2015-10-07; view: 434.

Общий вид однородной СЛАУ, состоящей из уравнений с неизвестными, даётся формулами

Как уже отмечалось выше, однородная СЛАУ всегда совместна, так как имеет нулевое решение

.

Поэтому исследование такой СЛАУ сводится к выяснению существования у неё нулевого решения. Если нулевого решения не существует, однородная СЛАУ является определённой и подчиняется предложению 2.3. Если же ненулевое решение существует, то однородная СЛАУ является неопределённой и подчиняется предложению 2.4.

Следующие утверждения вытекают непосредственно из предложений 2.3 и 2.4.

Предложение 2.5.(Критерий определённости однородной СЛАУ). Для того, чтобы однородная СЛАУ была определённой, необходимо и достаточно, чтобы любая равносильная ей СЛАУ приведённого вида не содержала свободных неизвестных.

Предложение 2.6 .(Критерий существования у однородной СЛАУ ненулевого решения). Для того, чтобы однородная СЛАУ имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы любая равносильная ей СЛАУ приведённого вида имела свободные неизвестные.

Если последнее условие выполнено, СЛАУ имеет бесконечное множество решений, зависящее от произвольных постоянных , количество которых совпадает с числом свободных неизвестных.

Приведём ещё одно достаточное условие для существования у однородной СЛАУ ненулевого решения.

Предложение 2.7. Если число уравнений однородной СЛАУ меньше числа её неизвестных , тогда СЛАУ имеет ненулевое решение.

◄ Если , тогда, как следует из метода Гаусса, можно построить СЛАУ приведённого вида, равносильную исходной СЛАУ, у которой число уравнений не превосходит . Следовательно, у этой СЛАУ приведённого вида число уравнений также меньше числа неизвестных. Так как каждое уравнение этой СЛАУ, имеющее хотя бы один ненулевой коэффициент, имеет точно одну связанную неизвестную, то у приведённой СЛАУ обязательно будут свободные неизвестные. Остаётся применить предложение 2.6. ►