Теорема Лапласа

Date: 2015-10-07; view: 460.

Пусть , если в матрице вычеркнуть строк и столбцов, , то на пересечении этих строк и столбцов образуется матрица порядка . Определитель этой матрицы будем называть минором порядка , составленным из элементов матрицы , или просто минором -ого порядка матрицы . Элементы матрицы , не принадлежащие ни одной из вычеркнутых строк и ни одному из вычеркнутых столбцов, порождают минор порядка ( ), который будем называть минором, дополнительным к данному. Алгебраическим дополнением данного минора называется его дополнительный минор, умноженный на , где – сумма номеров вычеркнутых строк и столбцов. Например, в матрице

при вычеркивании строк и столбцов образуется минор второго порядка

.

Его дополнительный минор имеет вид

.

Так как , то алгебраическим дополнением минора является .

Теорема Лапласа. Пусть и . Определитель матрицы равен сумме произведений всевозможных миноров -ого порядка, взятых из данных строк (столбцов), на их алгебраические дополнения.

Например, проведем разложение определителя

на основании теоремы Лапласа по первой и третьей строкам ( ),

.