Определитель произведения матриц

Date: 2015-10-07; view: 452.

Сейчас мы рассмотрим ещё одно общее свойство определителя, важность которого для построения дальнейшей теории заставляет нас уделить ему особое внимание.

Предложение 3.16. Пусть , тогда

. (3.31)

◄ Из предложения 3.14 следует, что для матрицы найдется такая матрица , что матрица является верхнетреугольной и , а для матрицы найдется такая матрица , что матрица является верхнетреугольной и . Заметим, что при этом матрицы и являются произведениями элементарных матриц, порождаемых трансвекциями.

Поэтому

.

На основании свойства 5 элементарных преобразований (см. Лекцию III, 1.10) матрицы и при умножении матрицы не меняют её определителя. Отсюда, учитывая предложение 3.13, получаем, что

. ►