Группы МТ101, МП-101, МП-102.

Date: 2015-10-07; view: 389.

Вопросы к экзамену по учебной дисциплине

«Алгебра», 1 семестр 2011 – 2012 учебного года,

1. Перестановки. Четность перестановки. Показать на примере, что от произвольной перестановки n элементов можно перейти к перестановке (1, 2, …, n) при помощи транспозиций.

2. Понятие определителя n-го порядка. Вывод формул для определителей 2 и 3 порядков.

3. Доказать, что при перестановке местами двух строк матрицы её определитель меняет знак.

4. Доказать, что если некоторая строка матрицы представима в виде суммы двух строк, то определитель этой матрицы равен сумме двух определителей.

5. Доказать, что общий коэффициент элементов строки матрицы можно вынести за знак определителя.

6. Доказать, что определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки, равен нулю. Доказать, что определитель матрицы, содержащей строку нулей, равен нулю.

7. Доказать, что определитель матрицы не измениться, если к одной её строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.

8. Доказать, что определитель нижнетреугольной матрицы равен произведению всех элементов матрицы, расположенных на главной диагонали.

9. Алгебраическое дополнение. Доказать теорему о разложении определителя по строке.

10. Доказать правило Крамера решения систем линейных уравнений для систем с двумя уравнениями и двумя неизвестными.

11. Сложение и умножение матриц. Сформулировать свойства этих операций.

12. Обратимая матрица. Доказать свойства обратимой матрицы.

13. Обратимая матрица. Доказать, что матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля (критерий обратимости).

14. Понятие комплексного числа. Сложение и умножение комплексных чисел. Геометрическое представление. Тригонометрическая форма комплексного числа.

15. Доказать формулу нахождения произведения двух комплексных чисел, заданных тригонометрической формой.

16. Доказать теорему Муавра (возведение комплексного числа в степень).

17. Доказать теорему о корнях из комплексного числа.

18. Сопряжение комплексного числа и его свойства.

19. Наибольший общий делитель. Доказать существование наибольшего общего делителя в кольце многочленов от одной переменной.

20. Взаимно простые многочлены. Свойства взаимной простоты многочленов.

21. Определение многочлена, корня многочлена. Понятие значения многочлена. Теорема Безу и схема Горнера.

Лектор: доцент кафедры КТиА, к. ф.-м. н. Фоминых Е.А.