Задание на проектирование

Date: 2015-10-07; view: 466.

Построить схему электрическую принципиальную цифрового устройства, работа которого описывается булевыми функциями, заданными таблицей истинности.

Исходные данные для построения таблицы истинности требуется получить по следующей схеме:

1. В десятичной форме записать день и месяц рождения студента.

Пример: 3 апреля – 0304.

2. Полученное десятичное число перевести в двоичную систему счисления.

Пример: 304₍₁₀₎=100110000₍₂₎

3. Сформировать 16 двоичных разрядов.

4. Поместить двоичный эквивалент даты рождения в таблицу истинности. Значение старшего разряда, полученного двоичного числа, вставить в строку таблицы истинности с набором аргументов со значениями 0000, значение более младшего разряда вставим в строку таблицы истинности с набором аргументов со значениями 0001 и так далее. Значение самого младшего разряда, полученного двоичного числа, вставить в строку таблицы истинности с набором аргументов со значениями 1111.

Краткие теоретические сведения

1. Способы представления логических функций:

ü дизъюнктивная форма представления логических функций;

ü конъюнктивная форма представления логических функций;

ü представление логических функций таблицами истинности.

Математической основой цифровой электроники и вычислительной техники является алгебра логики или булева алгебра (по имени английского математика Джона Буля).

В булевой алгебре независимые переменные или аргументы (X) принимают только два значения: 0 или 1. Зависимые переменные или функции (Y) также могут принимать только одно из двух значений: 0 или 1. Функция алгебры логики (ФАЛ) представляется в виде:

Y = F (X1; X2; X3 ... XN ).

Данная форма задания ФАЛ называется алгебраической.

Схемы, реализующие логические функции, называются логическими элементами. Основные логические элементы имеют, как правило, один выход (Y) и несколько входов, число которых равно числу аргументов (X1;X2;X3 ... XN ). На электрических схемах логические элементы обозначаются в виде прямоугольников с выводами для входных (слева) и выходных (справа) переменных. Внутри прямоугольника изображается символ, указывающий функциональное назначение элемента.

На рис.1 представлены логические элементы, реализующие рассмотренные в п.2.2. функции. Там же представлены так называемые таблицы состояний или таблицы истинности, описывающие соответствующие логические функции в двоичном коде в виде состояний входных и выходных переменных. Таблица истинности является также табличным способом задания ФАЛ.

На рис.1 представлен элемент “НЕ”, реализующий функцию логического отрицания Y=Х.

Рис. 1

Элемент “ИЛИ” (рис.2) и элемент “И” (рис.3) реализуют функции логического сложения и логического умножения соответственно.

Рис. 2

Рис. 3

Функции Пирса и функции Шеффера реализуются с помощью элементов “ИЛИ-НЕ” и “И-НЕ”, представленных на рис.4 и рис. 5 соответственно.

Рис. 4

Рис. 5

Элемент Пирса можно представить в виде последовательного соединения элемента “ИЛИ” и элемента “НЕ” (рис.6), а элемент Шеффера - в виде последовательного соединения элемента “И” и элемента “НЕ” (рис.7).

На рис.8 и рис.9 представлены элементы “Исключающее ИЛИ” и “Исключающее ИЛИ - НЕ”, реализующие функции неравнозначности и неравнозначности с отрицанием соответственно.

Рис. 8

Рис. 9

Логические элементы, реализующие операции коньюнкции, дизьюнкции, функции Пирса и Шеффера, могут быть, в общем случае, n - входовые. Так, например, логический элемент с тремя входами, реализующий функцию Пирса, имеет вид, представленный на рис.10.

Рис. 10

В таблице истинности (рис.10) в отличие от таблиц в п.2.4. имеется восемь значений выходной переменной Y. Это количество определяется числом возможных комбинаций входных переменных N, которое, в общем случае, равно: N = 2 n , где n - число входных переменных.

Из таблицы истинности можно получить аналитическое представление функции. В общем виде аналитическое представление записывается в двух видах:

ü дизъюнктивной форме;

ü конъюнктивной форме.

Дизъюнктивная форма в аналитическом выражении, которое описывает работу функции в составе логических произведений имеются все дополнительные наборы логических произведений аргументов. Логические произведения аргументов – термы. По – этому говорят, что при дизъюнктивном представлении логической функции термы объединяют знаками логических сложений:

Конъюнктивная форма представления:

Теории Булевой алгебры известно: если функция задана в виде таблицы истинности, то из нее можно получить ее дизъюнктивную форму представления, выбрав из таблицы истинности те наборы, при которых значение функции равно единице.

2. Минимизация Булевых функций:

ü законы Булевой алгебры для одной переменной;

ü законы Булевой алгебры для двух переменных, закон склеивания и поглощения;

ü таблицы Карно.

Основными логическими функциями являются:

ü логическое отрицание (инверсия): Y = ;

ü логическое сложение (дизъюнкция): Y = X1 + X2 или Y = X1 V X2;

ü логическое умножение (конъюнкция): Y = X1*X2 или Y = X1 L X2 .

К более сложным функциям алгебры логики относятся:

ü функция равнозначности (эквивалентности):

Y = X1*X2 +Х1*Х2 или Y = X1 ~ X2;

ü функция неравнозначности (сложение по модулю два):

Y = X1*Х2 + Х1*X2 или Y = X1 + X2;

ü функция Пирса (логическое сложение с отрицанием): Y = ;

ü функция Шеффера (логическое умножение с отрицанием): Y = .

Законы Булевой алгебры для одной переменной:

ü Х+0=Х;

ü Х+1=1;

ü Х+Х=Х;

ü Х+ =1;

ü Х*0=0;

ü Х*1=Х;

ü Х*Х=Х;

ü Х* =0;

ü =Х.

Законы Булевой алгебры двух переменных:

ü переместительный:

Ø для сложения: Х+У=У+Х;

Ø для умножения: У*Х=Х*У;

ü сочетательный:

Ø для сложения: Х+У+Z=X+(Y+Z)=(X+Y)+Z;

Ø для умножения: X*(Y*Z)=(X*Y)*Z;

ü распределительный:

Ø для сложения по отношению к умножению: X+Y*Z=(X+Y)*(X+Z);

Ø для умножения по отношению к сложению: X*(Y+Z)=X*Y+X*Z;

ü поглощения: X+У*Х=Х так, как Х(1+У)=Х;

ü склеивания: Х*У+ *У=У так, как У*(Х+ )=У;

ü теорема Де Моргана:

При большом количестве аргументов (больше трех) метод минимизации с помощью алгебраических преобразований становится трудным. Значительно облегчает этот процесс использование карт Карно. Карта Карно – графическое изображение всех возможных наборов значений аргументов. То есть карту Карно можно представить как графическое представление совокупности всех термов для данного числа переменных. Каждый терм изображается на карте в виде клетки. Карта образуется путем такого расположения клеток, при котором термы, находящиеся в соседних клетках, отличаются значением одной переменной. Карта Карно – это прямоугольная таблица, состоящая из ячеек. Число ячеек в таблице равно числу наборов, которые можно организовать из значений аргументов. Ячейки имеют специальную нумерацию (адресацию). Методика нумерации клеток может быть разной, однако все они дают одинаковый результат. Одна из методик нумерации заключается в том, что адреса клеток обозначаются символами аргументов и их отрицаниями, из которых составлены термы. Каждый аргумент имеет свою зону влияния, и полный адрес состоит из полного набора аргументов, оказывающих влияние на эту клетку. Полный адрес клетки находится на пересечении вертикальной и горизонтальной линии, условно проводимых через клетку.

Для трех аргументов таблица Карно может выглядеть так (рис.11):

Рис.11

Клетки, которые пересекают условные горизонтальные или вертикальные линии считаются соседними. Соседними так же считаются клетки таблицы Карно, расположенные в крайних верхних и крайних нижних сторонах таблицы, а также клетки, расположенные в крайних левых и крайних правых столбцах.

Теперь необходимо заполнить клетки. Представим способы заполнения клеток: