Парная линейная корреляция

Date: 2015-10-07; view: 381.

Предположим, что на основе геометрических или других соображений установлено, что между двумя количественными признаками и существует линейная корреляционная зависимость. Если признаки подчиняются нормальному закону распределения, то уравнение линии регрессии записывают в виде

(43)

Пусть опытные данные не сгруппированы в корреляционную таблицу, то есть заданы в виде табл. 18.

Таблица 18
				…
				…

В этом случае значения и , являющиеся оценками истинных величин уравнения регрессии, находят по методу наименьших квадратов, решая систему нормальных уравнений

, (44)

где , , , .

Для нахождения сумм, входящих в систему (44) составляется табл. 19.

Таблица 19

Если опытные данные сгруппированы в корреляционную таблицу, то значения и уравнения регрессии (43) находят по методу наименьших квадратов, решая систему нормальных уравнений

, (45)

где и — частоты признаков и , — частота совместного появления признаков и .

Для нахождения сумм, входящих в систему (45) составляется табл. 20.

Таблица 20
x y			…
			…
			…
…	…	…	…	…	…	…
			…
			…
			…
			…
			…

Суммы , , в табл. 20 находятся по строкам, а сумма находится по последнему столбцу табл. 20.

В уравнении регрессии (43) параметр характеризуют усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выявленных для исследования) факторных признаков . Параметр показывает, на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного признака на единицу.

Используя параметр , вычисляют коэффициент эластичности по формуле

(46)

Коэффициент эластичности показывает на сколько изменяется в процентах результативный признак при изменении факторного признака на 1 %.

В случае линейной корреляционной зависимости между признаками и , если нет уверенности в том, что эти признаки подчиняются нормальному закону распределения, уравнения линий регрессий находят по формулам:

, (47)

, (48)

где , — выборочные средние признаков и ; , — выборочные средние квадратические отклонения признаков и , вычисляемые по формулам:

, где , (49)

, где . (50)

При и находят по формулам:

, где , (51)

, где . (52)

Коэффициент линейной корреляции находят по формуле

, (53)

где — средняя произведения значений признаков и , , — средние значения признаков и , , — выборочные средние квадратические отклонения признаков и , вычисленные по формулам (49) и (50), если или по формулам (51) и (52), если .

Уравнение (47) называют уравнением регрессии на , а уравнение (48) — уравнением регрессии на .

Если данные выборки для признаков и заданы в виде корреляционной таблицы и объем выборки , то для нахождения величин, входящих в уравнения линий регрессий (47) и (48), переходят к вспомогательному распределению с условными вариантами и , вычисляемых по формулам:

, (54)

, (55)

где , , и — шаги значений признаков и .

Выборочный коэффициент линейной корреляции в этом случае находят по формуле

, (56)

где

, (57)

Для нахождения суммы составляется расчетная табл. 21.

Таблица 21
			…
			…
			…
…	…	…	…	…	…
			…
			…

Статистики , , , находят по формулам:

, , , . (58)