Экономическая интерпретация уравнения регрессии

Date: 2015-10-07; view: 709.

Заключительным этапом, завершающим построение регрессионной модели, является интерпретация полученного уравнения регрессии, то есть перевод его с языка статики и математики на язык экономиста. Интерпретация начинается с выяснения, как каждый факторный признак, входящий в модель, влияет на величину результативного признака. Чем больше величина коэффициента регрессии, тем сильнее фактор влияет на результативный признак . Знаки коэффициентов регрессии говорят о характере влияния на результативный признак. Если коэффициент имеет знак (+), то с увеличением данного фактора результативный фактор возрастает. Если коэффициент имеет знак (-), то с увеличением данного фактора результативный признак уменьшается. Интерпретация знаков зависит от экономической сущности результативного признака. Если величина результативного признака должна изменяться в сторону увеличения (объем реализованной продукции, фондоотдача, производительность труда и т.д.), то плюсовые знаки коэффициентов свидетельствуют о положительном влиянии соответствующих факторов. Если величина результативного признака изменяется в сторону снижения (себестоимость продукции, материалоемкость, простои оборудования и т.д.), то в этом случае положительное влияние на результативный признак будут оказывать факторы, коэффициенты, которых отрицательны.

Если экономический анализ подсказывает, что факторный признак должен влиять положительно, а коэффициент при нем имеет знак (-), то необходимо проверить расчеты. Так получается за счет допущенных ошибок при решении и в силу наличия взаимосвязей между факторными признаками, включенными в модель, влияющих в совокупности на результативный признак.

При построении регрессионной модели можно рекомендовать следующий алгоритм выполнения операций (рис.12):

Контрольные вопросы.

1. Рассказать о механизме включения факторных признаков в модель множественной линейной регрессии.

2. Как найти коэффициенты , , уравнения регрессии ?

3. Записать модельное уравнение множественной линейной регрессии для случая, когда в модель включено четыре фактора.

4. Записать систему нормальных уравнений для уравнения .

5. Как определяется надежность коэффициентов уравнения множественной линейной регрессии?

6. Как решается вопрос об измерении тесноты связи между факторными и результативными признаками в случае множественной линейной регрессии?

7. Как осуществляется корректировка множественного коэффициента корреляции?

8. Как определить степень влияния каждого факторного признака в отдельности, включенного в модельное уравнение множественной линейной регрессии, на изменение результативного признака?

9. Рассказать, как осуществляется проверка адекватности модели множественной линейной регрессии.

10. Рассказать об экономической интерпретации уравнения множественной линейной регрессии.

Лабораторная работа №6.

Построение модели множественной

линейной регрессии.

Цель работы: овладение способами построения модели множественной линейной регрессии, выработка умений и навыков нахождения параметров уравнения, оценки надежности уравнения регрессии и его параметров, проведения экономической интерпретации полученных результатов.

Содержание работы: на основании опытных данных требуется:

1. Определить форму связи между факторными и результативными признаками, построив корреляционные поля на плоскости для каждой пары факторов. Записать уравнение модели множественной регрессии.

2. Произвести отбор факторов, включаемых в модель.

3. Определить тесноту связи между факторами, включенными в модель множественной линейной регрессии.

4. Найти оценки уравнения регрессии по методу наименьших квадратов.

5. Проверить адекватность полученного модельного уравнения регрессии тремя способами:

– с помощью коэффициента детерминации ;

– по критерию Фишера;

– с помощью средней ошибки аппроксимации.

6. Определить воздействие неучтенных в модели факторов.

7. Дать экономическую интерпретацию найденных оценок уравнения регрессии.

Задачи. Исходные данные для признаков , , , приведены в табл. 40:

Таблица 40
Признаки	Значение признаков на различных НГДУ
	0,92	0,93	0,89	0,90	0,90	0,89	0,92	0,91	0,93	0,89

В таблице обозначено: — коэффициент эксплуатации скважин; — дебит скважин (тн/сут.); — уровень автоматизации труда (%); — производительность труда (тн/чел.).

Определим форму связи. Для чего строим корреляционные поля (рис. 13-18).

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

Рис. 16

Рис. 17

Рис. 18

По построенным корреляционным полям можно предположить, что зависимость между факторными признаками , , и результативным признаком может носить прямолинейный характер. Решим вопрос о включении факторных признаков , , в уравнение линейной регрессии. Найдем коэффициенты парной корреляции по формуле (53). Предварительно составим расчетную таблицу 41. Пользуясь таблицей 41 и формулами (49) — (50), находим:

, .

, .

, .

, .

.

Табл.

По найденным коэффициентам парной корреляции видно, что сильно коррелируют между собой факторы или .Для решения вопроса о том, какой из факторов или следует исключить из модели множественной линейной регрессии, вычислим коэффициенты парной корреляции и :

Так как _,то между признаками и связь сильнее, чем между и .Этот факт подтверждается путем вычисления коэффициентов частной корреляции и по формуле (104):

Поэтому из модели множественной линейной регрессии исключаем фактор . Тогда в модель будут включены факторы и и уравнение регрессии запишется в виде

.

Включение фактора в модель обосновано значимостью коэффициента парной корреляции :

Для выяснения вопроса о силе линейной связи между факторами, включенными в модель, вычисляем множественный коэффициент корреляции R по формуле (100):

Так как в нашем примере объем выборки небольшой ( ), то произведем корректировку R по формуле (102):

Проверяем значимость по критерию Стьюдента. Вычисляем среднеквадратическую ошибку по формуле (103):

Вычисляем статику

По таблице критических точек распределения Стьюдента при уровне значимости с числом степеней свободы находим Так как , то делаем вывод, что значим.

Для нахождения оценок , , уравнения регрессии решаем систему нормальных уравнений по формуле (91):

(112)

Решив эту систему, получаем , , .

Тогда уравнение регрессии, устанавливающее зависимость производительности труда от коэффициента эксплуатации и дебита скважин запишется в виде .

Проверяем адекватность уравнения регрессии. Используем коэффициент детерминации , полагая . Для полученной модели . Это означает, что полученная модель приблизительно на 66% объясняет изменение производительности труда в зависимости от изменения включенных в модель факторов и , что является не плохим показателем.

Проведем проверку модели на адекватность по критерию Фишера-Снедекора. Найдем статистику по формуле (110), полагая в ней :

. По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора при уровне значимости и числах степеней свободы , (p — число факторов , включенных в модель, n — объем выборки) находим . Так как , то найденное уравнение регрессии, устанавливающее зависимость производительности труда на десяти нефтегазодобывающих управлениях (НГДУ) от коэффициента эксплуатации скважин и дебита скважин , значимо описывает опытные данные и может быть принято для руководства.

Оценим адекватность уравнения регрессии по средней ошибке аппроксимации , которую вычислим по формуле (111):

.

Для нахождения суммы, входящей в формулу, составляем расчетную табл. 42.

Таблица 42
	35,2	0,2	0,000114
	36,8	0,8	0,017778
	31,5	0,5	0,005952
	33,8	0,8	0,019394
	32,7	1,3	0,049706
	32,6	0,6	0,008
	36,3	1,7	0,076053
	34,7	0,7	0,014412
	37,1	0,1	0,00027
	32,2	0,8	0,019394
			0,211073

По табл. 42 находим:

. Среднеквадратическая ошибка небольшая, что дает основание считать, что построенная модель адекватно описывает опытные данные.

Итак, все три метода проверки модели на адекватность подтвердили гипотезу о том, что уравнение регрессии в целом статистически значимо и хорошо соответствует данным наблюдений.

Дадим экономическую интерпретацию найденных коэффициентов уравнения регрессии. Значение свободного члена характеризует влияние неучтенных в модели факторов, в частности фактора (уровень автоматизации труда ). Знак минус говорит о том, что отсутствие этого фактора в модели отрицательно сказывается на повышении производительности труда. Величина коэффициента показывает, что при увеличении коэффициента эксплуатации на 0,01 производительность труда увеличивается в среднем на 86,3271 тн/чел. Коэффициент показывает, что при увеличении дебита скважин на одну тонну производительность труда увеличивается в среднем на 0,360611 тн/чел.

Варианты заданий к лабораторной работе № 6.

Варианты №1-№10

Данные экспериментального определения производительности труда ( ) в зависимости от коэффициента эксплуатации скважин ( ), дебита скважин ( ), уровня автоматизации труда ( ) приведены в табл. 43. Пользуясь данными табл. 43, выполнить задание (по образцу приведенного выше примера) по вариантам, номера предприятий (НГДУ) для которых указаны в табл. 44.

Таблица 43
Факторы	Значения факторов на различных НГДУ
Номера НГДУ
	0,93	0,95	0,94	0,89	0,91	0,90	0,92	0,93	0,89	0,90	0,90	0,89	0,92	0,91	0,9	0,89

Здесь: – коэффициент эксплуатации скважин (в долях),

– дебит скважин (тн/сут.),

– уровень автоматизации труда (%),

– производительность труда (тн/чел.).

Вариант №11.

Прогнозные показатели разработки по нефти на одном из месторождений Тюменской области, характеризующие зависимость среднего дебита действующих скважин по нефти ( ), от фонда действующих нагнетательных скважин на конец года ( ), средней приемистости нагнетательных скважин ( ) и фонда механизированных скважин на конец года ( ) приведены в табл. 45.

Таблица 45
(т/сут.)	(шт.)	(м3/сут.)	(шт.)
3,5
3,5
3,6
3,6
3,5
3,5
3,4
3,3
3,4
3,3
3,2
3,2
3,1
3,2
3,1
3,1
3,0
3,1
3,0
3,0

Вариант №12.

Прогнозные показатели разработки по нефти на одном из месторождений Тюменской области, характеризующие зависимость добычи жидкости с начала разработки ( ), от годовой добычи жидкости из перешедших скважин ( ), среднегодовой обводненности ( ) и от среднего дебита действующих скважин по жидкости ( ) приведены в табл. 46.

Таблица 46
(тыс. т)	(тыс. т)	(%)	(т/сут.)
	34,5	2,8	3,9
	34,4	2,8
	34,3	2,7
	34,2	2,6	4,1
	34,1	2,5	4,1
		2,4	4,1
	33,8	2,4	4,3
	33,7	2,3	4,3
	33,6	2,2	4,2
	33,4	2,2	4,4
	33,2	2,1	4,4
	33,1	2,0	4,6
	32,9	2,0	4,5
	32,7	1,9	4,7
	32,5	1,8	4,7

Вариант №13

Прогнозные показатели разработки по нефти на одном из месторождений Тюменской области, характеризующие зависимость добычи нефти с начала разработки ( ), от суммарной добычи нефти из скважин предыдущего года ( ), падение добычи нефти ( ) и фонда добывающих скважин на конец года ( ) приведены в табл. 47.

Таблица 47
(тыс.т)	(тыс.т)	(тыс.т)	(шт.)
100,5	30,4	-0,5
		-0,9
133,1	32,1	-1
163,1	31,1	-0,9
192,6	30,2	-0,9
220,9	29,3	-0,9
248,5	28,4	-0,9
275,1	27,5	-0,8
	26,7	-0,8
326,1	25,9	-0,8
350,4	25,1	-0,7
	24,3	-0,7
379,5	23,6	-0,6

Вариант №14

Прогнозные показатели разработки по нефти на одном из месторождений Тюменской области, характеризующие зависимость добычи нефти с начала разработки ( ), от суммарной добычи нефти из скважин предыдущего года ( ), падение добычи нефти ( ) и коэффициента нефтеизвлечения ( ) приведены в табл. 48.

Таблица 48
(тыс.т)	(тыс. т)	(тыс.т)	(%)
		-0,7	0,9
	22,7	-0,9	1,2
86,9	31,7	-0,9	1,9
117,3	31,2	-0,8	2,5
147,1	30,5	-0,8	3,2
176,1	29,7	-0,8	3,8
204,5		-0,7	4,4
232,2	28,4	-0,7	5,0
259,2	27,7	-0,6	5,6
285,6	26,4	-0,6	6,2
311,4	25,8	-0,6	6,7
336,6	25,2	-0,5	7,3
361,2	24,6	-0,5	7,8
385,3		-0,5	8,3
408,7	23,5	-0,5	8,8

Вариант №15

Прогнозные показатели разработки по нефти на одном из месторождений Тюменской области, характеризующие зависимость добычи жидкости с начала разработки ( ), от годовой добычи жидкости из перешедших скважин ( ), среднегодовой обводненности ( ) и от среднего дебита действующих скважин по жидкости ( ) приведены в табл. 49.

Таблица 49
(тыс.т)	(тыс. т)	(%)	(т/сут.)
	32,7	4,8	2,7
	32,7	6,8	2,8
	32,6	8,8	2,8
	32,5	10,7	2,8
	32,4	12,6	2,9
	32,5	14,4	2,9
	32,3	16,2	3,0
	32,2	17,9	3,0
	32,1	19,5	2,9
		21,2	3,0
	31,8	22,8	3,0
	31,7	24,3	3,1
	31,6	25,8	3,1
	31,5	27,2	3,2
	31,4	28,7	3,2

Вариант №16.

Прогнозные показатели разработки по нефти на одном из месторождений Тюменской области, характеризующие зависимость среднего дебита действующих скважин по нефти ( ), от фонда действующих нагнетательных скважин на конец года ( ), средней приемистости нагнетательных скважин ( ) и темпа отбора от начальных извлекаемых запасов ( ) приведены в табл. 50.

Таблица 50
(т/сут.)	(шт.)	(м3/сут.)	(%)
			2,5
2,7
2,6			2,3
2,7			2,2
2,6			2,1
2,6			2,2
2,5			2,1
2,5
2,5			2,1
2,5			1,9
2,4			1,9
2,4			1,8
2,4			1,8
2,3			1,7
2,3			1,7
2,3			1,9
2,2			2,3
2,3			1,9
2,3			2,1
2,2

Вариант №17

Прогнозные показатели разработки по нефти на одном из месторождений Тюменской области, характеризующие зависимость добычи нефти с начала разработки ( ), от коэффициента нефтеизвлечения ( ), темпа отбора от начальных извлекаемых запасов ( ) и среднего дебита действующих скважин по нефти ( ) приведены в табл. 51.

Таблица 51
(тыс.т)	(%)	(%)	(т/сут.)
	1,5	2,8	3,6
133,1	1,9	2,8	3,6
163,3	2,4	2,7	3,5
192,6	2,8	2,6	3,5
220,9	3,2	2,5	3,4
275,1		2,4	3,4
	4,4	2,4	3,3
326,1	4,8	2,3	3,2
350,4	5,1	2,2	3,2
	5,5	2,2	3,1
396,9	5,8	2,1	3,2
419,9	6,1		3,1
440,6	6,4		3,1
461,5	6,7	1,9
481,7		1,8	3,1

Вариант №18

Прогнозные показатели разработки по нефти на одном из месторождений Тюменской области, характеризующие зависимость добычи жидкости сначала разработки ( ), от закачки агента за год ( ), закачки агента с начала разработки ( ) и среднего дебита действующих скважин по жидкости ( ) приведены в табл. 52.

Таблица 52
(тыс. т)	(тыс. т/год)	(тыс. т)	(т/сут.)
	44,5		2,8
	44,3		2,8
			2,8
	43,7		2,9
	43,4		2,9
	43,1
	42,8
	42,5		2,9
	42,3
	41,7		3,1
	41,4		3,1
	41,4		3,2
	40,8		3,2
	40,5		3,3

Вариант №19

Прогнозные показатели разработки по нефти на одном из месторождений Тюменской области, характеризующие зависимость суммарной добычи нефти из скважин предыдущего года ( ), от падения добычи нефти ( ), процента падения добычи нефти ( ) и фонда добывающих скважин на конец года ( ) приведены в табл. 53.

Таблица 53
(тыс. т)	(тыс. т)	(%)	(шт.)
	-1,1	-2,4
	-0,9	-2,6
32,1	-1	-2,6
31,1	-0,9	-2,6
29,3	-0,9	-2,7
28,4	-0,9	-2,7
27,5	-0,8	-2,7
25,9	-0,8	-2,8
24,3	-0,7	-2,8
22,9	-0,7	-2,8
21,5	-0,7	-2,9
20,2	-0,6	-2,9
	-0,5	-3,1

Вариант №20

Исходные данные по цеху акционерного объединения машиностроительного профиля за 10 месяцев, характеризующие зависимость между себестоимостью произведенной продукции ( ), стоимостью материалов ( ), основной зарплатой ( ) и расходами по содержанию и эксплуатации оборудования ( ) представлены в табл. 54.

Таблица 54
(тыс. руб.)	(тыс. руб.)	(тыс. руб.)	(тыс. руб.)
82,3	36,4	11,5	14,2
83,8	36,6	11,5	13,9
81,5	37,9	11,6	15,2
83,1	38,2	11,8	16,5
84,3	39,4		16,7
82,6	39,8	12,2	17,2
85,4	40,1	12,5	18,3
84,6	41,5	12,6	18,6
86,8	42,6	12,8	19,4
88,3	45,7	13,2	20,7

Вариант №21

Исходные данные по цеху акционерного объединения машиностроительного профиля за 10 месяцев, характеризующие зависимость между себестоимостью произведённой продукции ( ), стоимостью материалов , основной зарплатой ( ) и цеховыми расходами ( ) предоставлены в табл. 55.

Таблица 55
(тыс. руб.)	(тыс. руб.)	(тыс. руб.)	(тыс. руб.)
81,5	37,9	11,6	9,5
82,3	36,5	11,5	10,6
83,8	36,6	11,5	7,8
83,1	38,2	11,8	9,1
84,3	39,4		13,6
82,6	39,8	12,2	14,1
85,4	40,1	12,5	14,6
84,6	41,5	12,6	15,1
86,8	42,6	12,8
88,3	45,7	13,2	17,2

Вариант №22

Имеются данные, характеризующие зависимость нормы расхода моторного масла ( ) на угар и замену марки от максимальной мощности двигателя ( ), максимального крутящего момента ( ), линейной нормы расхода топлива ( ), и скорости автомобиля ( ) (табл. 56).

Таблица 56
(л/100 л. т)	(л. с)	( )	(л)	(км/ч)
1,3		7,4
1,3		7,6
0,8		8,2
1,3		8,2
2,2		20,5	21,5
2,2
1,8	73,5	10,8
2,2
			22,8
2,1
2,2		17,5
2,3
1,8		18,4
2,8
2,2
2,1
2,1
		47,3
1,8

Вариант №23

Имеются данные, характеризующие зависимость нормы расхода моторного масла ( ) на угар и замену марки от максимальной мощности двигателя ( ), линейной нормы расхода топлива ( ), скорости двигателя ( ) и контрольного расхода топлива при данной скорости ( ) (табл. 57).

Таблица 57
(л/100 л. т.)	(л. с.)	(л)	(км/ч)	(л)
1,3
1,3
0,8				9,45
1,3				8,85
2,2		21,5
2,2
1,8	73,5			9,3
2,2				10,6
		22,8
2,1
2,2				13,1
2,3				10,6
1,8				11,8
2,8				38,5
2,2
2,1
2,1
				35,9
1,8

Вариант №24

Имеются данные, характеризующие зависимость нормы расхода моторного масла на угар и замену марки от максимальной мощности двигателя ( ), диаметра цилиндра ( ), линейной нормы расхода топлива ( ) и скорости ( ) (табл. 58).

Таблица 58
(л/100 л. т.)	(л. с.)	(мм)	(л)	(км/ч)
1,3
1,3
0,8
1,3
2,2			21,5
2,2
1,8	73,5
2,2
			22,8
2,1
2,2
2,3
1,8
2,8		101,6
2,2
2,1
2,1
1,8

Вариант №25

Имеются данные, характеризующие зависимость нормы расхода моторного масла на угар и замену марки от максимальной мощности двигателя ( ), оборотов при максимальной мощности ( ), линейной нормы расхода топлива ( ) и скорости ( ) (табл. 59).

Таблица 59
(л/100 л. т.)	(л. с.)	(об/мин)	(л)	(км/ч)
1,3
1,3
0,8
1,3
2,2			21,5
2,2
1,8	73,5
2,2
			22,8
2,1
2,2
2,3
1,8
2,8
2,2
2,1
2,1
1,8

Приложение 1
Таблица значений функции
x
0,0	0,3989
0,1	0,3970
0,2	0,3910
0,3	0,3814
0,4	0,3683
0,5	0,3521
0,6	0,3332
0,7	0,3123
0,8	0,2897
0,9	0,2661
1,0	0,2420
1,1	0,2179
1,2	0,1942
1,3	0,1714
1,4	0,1497
1,5	0,1295
1,6	0,1109
1,7	0,0940
1,8	0,0790
1,9	0,0656
2,0	0,0540
2,1	0,0440
2,2	0,0355
2,3	0,0283
2,4	0,0224
2,5	0,0175
2,6	0,0136
2,7	0,0104
2,8	0,0079
2,9	0,0060
3,0	0,0044
3,1	0,0033
3,2	0,0024
3,3	0,0017
3,4	0,0012
3,5	0,0009
3,6	0,0006
3,7	0,0004
3,8	0,0003
3,9	0,0002

Приложение 2
Значения функции
х		х		х		х		х
0,00		0,52	0,1985	1,04	0,3508	1,56	0,4406	2,16	0,4846
0,01	0,0040	0,53	0,2019	1,05	0,3531	1,57	0,4418	2,18
0,02	0,0080	0,54	0,2054	1,06	0,3554	1,58	0,4429	2,20	0,4861
0,03	0,0120	0,55	0,2088	1,07	0,3577	1,59	0,4441	2,22	0,4868
0,04	0,0160	0,56	0,2123	1,08	0,3599	1,60	0,4452	2,24	0,4875
0,05	0,0199	0,57	0,2157	1,09	0,3621	1,61	0,4463	2,26	0,4881
0,06	0,0239	0,58	0,2190	1,10	0,3643	1,62	0,4474	2,28	0,4887
0,07	0,0279	0,59	0,2224	1,11	0,3665	1,63	0,4484	2,30	0,4893
0,08	0,0319	0,60	0,2257	1,12	0,3686	1,64	0,4495	2,32	0,4898
0,09	0,0359	0,61	0,2291	1,13	0,3708	1,65	0,4505	2,34	0,4904
0,10	0,0398	0,62	0,2324	1,14	0,3729	1,66	0,4515	2.36	0,4908
0,11	0,0438	0,63	0,2357	1,15	0,3749	1,67	0,4525	2,38	0,4913
0,12	0,0478	0,64	0,2389	1,16	0,3770	1,68	0,4535	2,40	0,4918
0,13	0,0517	0,65	0,2422	1,17	0,3790	1,69	0,4545	2,42	0,4922
0,14	0,0557	0,66	0,2454	1,18	0,3810	1,70	0,4554	2,44	0,4927
0,15	0,0596	0,67	0,2486	1,19	0,3830	1,71	0,4564	2,46	0,4931
0,16	0,0636	0,68	0,2517	1,20	0,3849	1,72	0,4573	2,48	0,4934
0,17	0,0675	0,69	0,2549	1,21	0,3869	1,73	0,4582	2,50	0,4938
0,18	0,0714	0,70	0,2580	1,22	0,3888	1,74	0,4591	2,52	0,4941
0,19	0,0753	0,71	0,2611	1,23	0,3907	1,75	0,4599	2,54	0,4945
0,20	0,0793	0,72	0,2642	1,24	0,3925	1,76	0,4608	2,56	0,4948
0,21	0,0832	0,73	0,2673	1,25	0,3914	1,77	0,4616	2,58	0,4951
0,22	0,0871	0,74	0.2703	1,26	0,3962	1,78	0,4625	2,60	0,4953
0,23	0,0910	0,75	0,2734	1,27	0,3980	1,79	0,4633	2,62	0,4956
0,24	0,0948	0,76	0,2764	1,28	0,3997	1,80	0,4641	2,64	0,4959
0,25	0,0987	0,77	0,2794	1,29	0,4015	1,81	0,4649	2,66	0,4961
0,26	0,1026	0,78	0,2823	1,30	0,4032	1,82	0,4656	2,68	0,4963
0,27	0,1064	0,79	0,2852	1,31	0,4049	1,83	0,4664	2,70	0,4965
0,28	0,1103	0,80	0,2881	1,32	0,4066	1,84	0,4671	2,72	0,4967
0,29	0,1141	0,81	0,2910	1,33	0,4082	1,85	0,4678	2,74	0,4969
0,30	0,1179	0,82	0,2939	1,34	0,4099	1,86	0,4686	2,76	0,4971
0,31	0,1217	0,83	0,2967	1,35	0,4115	1,87	0,4693	2,78	0,4973
0,32	0,1255	0.84	0,2995	1,36	0,4131	1,88	0,4699	2,80	0,4974
0,33	0,1293	0,85	0,3023	1,37	0,4147	1,89	0,4706	2,82	0,4976
0,34	0,1331	0,86	0,3051	1,38	0,4162	1,90	0,4713	2,84	0,4977
0,35	0,1368	0,87	0,3078	1,39	0,4177	1,91	0,4719	2,86	0,4979
0,36	0,1406	0,88	0,3106	1,40	0,4192	1,92	0,4726	2,88	0,4980
0,37	0,1443	0,89	0,3133	1,41	0,4207	1,93	0,4732	2,90	0,4981
0,38	0,1480	0,90	0,3159	1,42	0,4222	1,94	0,4738	2,92	0,4982
0,39	0,1517	0,91	0,3186	1,43	0,4236	1,95	0,4744	2,94	0,4984
0,40	0,1554	0,92	0,3112	1,44	0,4251	1,96	0,4750	2,96	0,4985
0,41	0,1591	0,93	0,3238	1,45	0,4265	1,97	0,4756	2,98	0,4986
0,42	0,1628	0,94	0,3264	1,46	0,4279	1,98	0,4761	3,00	0,49865
0,43	0,1664	0,95	0,3289	1,47	0,4292	1,99	0,4767	3,20	0,49931
0,44	0,1700	0,96	0,3315	1,48	0,4306	2,00	0,4772	3,40	0,49966
0,45	0,1736	0,97	0,3340	1,49	0,4319	2,02	0,4783	3,60	0,499841
0,46	0,1772	0,98	0,3365	1,50	0,4332	2,04	0,4793	3,80	0,499928
0,47	0,1808	0,99	0,3389	1,51	0,4345	2,06	0,4803	4,00	0,499968
0,48	0,1844	1,00	0,3413	1,52	0,4357	2,08	0,4812	4,50	0,499997
0,49	0,1879	1,01	0,3438	1,53	0,4370	2,10	0,4821	5,00	0,49999997
0,50	0,1915	1,02	0,3461	1,54	0,4382	2,12	0,4830
0,51	0,1950	1,03	0,3485	1,55	0,4394	2,14	0,4838

Приложение 3
Таблица значений
	0,95	0,99	0,999		0,95	0,99	0,999
	2,78	4,60	8,61		2,093	2,361	3,883
	2,57	4,03	6,86		2,064	2,797	3,745
	2,45	3,71	5,96		2,045	2,756	3,659
	2,37	3,50	5,41		2,032	2,720	3,600
	2,31	3,36	5.04		2,023	2,708	3,558
	2,26	3,25	4,78		2,016	2,692	3,527
	2,23	3,17	4,59		2,009	2,679	3,502
	2,20	3,11	4,44		2,001	2,662	3,464
	2,18	3,06	4,32		1,996	2,649	3,439
	2,16	3,01	4,22		1,001	2,640	3,418
	2,15	2,98	4,14		1,987	2,633	3,403
	2,13	2,95	4,07		1,984	2,627	3,392
	2,12	2,92	4,02		1,980	2,617	3,374
	2,11	2,90	3,97	¥	1,960	2,576	3,291
	2,10	2,88	3,92

Приложение 4
Таблица значений
	0,95	0,99	0,999		0,95	0,99	0,999
	1,37	2,67	5,64		0,37	0,58	0,88
	1,09	2,01	3,88		0,32	0,49	0,73
	0,92	1,62	2,98		0,28	0,43	0,63
	0,80	1,38	2,42		0,26	0,38	0,56
	0,71	1,20	2,06		0,24	0,35	0,50
	0,65	1,08	1,80		0,22	0,32	0,46
	0,59	0,98	1,60		0,21	0,30	0,43
	0,55	0,90	1,45		0,188	0,269	0,38
	0,52	0,83	1,33		0,174	0,245	0,34
	0,48	0,78	1,23		0,161	0,226	0,31
	0,46	0,73	1,15		0,151	0,211	0,29
	0,44	0,70	1,07		0,143	0,198	0,27
	0,42	0,66	1,01		0,115	0,160	0,211
	0,40	0,63	0,96		0,099	0,136	0,185
	0,39	0,60	0,92		0,089	0,120	0,162

Приложение 5
Критические точки распределения
Число степеней свободы	Уровень значимости
0,01	0,025	0,05	0,95	0,975	0,98
	6,6	5,024	3,841	0,0039	0,00098	0,00016
	9,2	7,378	5,991	0,103	0,051	0,020
	11,3	9,348	7,815	0,352	0,216	0,115
	13,3	11,143	9,488	0,711	0,484	0,297
	15,1	12,832	11,070	1,15	0,831	0,554
	16,8	14,449	12,592	1,64	1,24	0,872
	18,5	16,013	14,067	2,17	1,69	1,24
	20,1	17,535	15,507	2,73	2,18	1,65
	21,7	19,023	16,919	3,33	2,70	2,09
	23,2	20,483	18,307	3,94	3,25	2,56
	24,7	21,920	19,676	4,57	3,82	3,05
	26,2	23,336	21,026	5,23	4,40	3,57
	27,7	24,736	22,362	5,89	5,01	4,11
	29,1	26,129	23,685	6,57	5,63	4,66
	30,6	27,488	24,996	7,26	6,26	5,23
	32,0	28,845	26,296	7,96	6,91	5,81
	33,4	30,191	27,587	8,67	7,56	6,41
	34,8	31,536	28,869	9,39	8,23	7,01
	36,2	32,852	30,144	10,1	8,91	7,63
	37,6	34,170	31,410	10,9	9,59	8,26
	38,9	35,479	32,671	11,6	10,3	8,90
	40,3	36,781	33,924	12,3	11,0	9,54
	41,6	38,076	35,172	13,1	11,7	10,2
	43,0	39,364	36,415	13,8	12,4	10,9
	44,3	40,646	37,652	14,6	13,1	11,5
	45,6	41,923	38,885	15,4	13,8	12,2
	47,0	43,194	40,113	16,2	14,6	12,9
	48,3	44,461	41,337	16,9	15,3	13,6
	49,6	45,722	42,557	17,7	16,0	14,3
	50,9	46,979	43,773	18,5	16,8	15,0

Приложение 6
Критические точки распределения Стьюдента
Число степеней свободы k	Уровень значимости (двусторонняя критическая область)
0,10	0,05	0,02	0,01	0,002	0,001
	6,3138	12,7062	31,82	63,7	318,3	637,0
	2,9200	4,3037	6,97	9,92	22,33	31,6
	2,3534	3,1824	4,54	5,84	10,22	12,9
	2,1318	2,7764	3,75	4,60	7,17	8,61
	2,0150	2,5706	3,37	4,03	5,89	6,86
	1,9432	2,4469	3,14	3,71	5,21	5,96
	1,8946	2,3646	3,00	3,50	4,79	5,40
	1,8595	2,3060	2,90	3,36	4,50	5,04
	1,8331	2,2622	2,82	3,25	4,30	4,78
	1,8125	2,2281	2,76	3,17	4,14	4,59
	1,7959	2,2010	2,72	3,11	4,03	4,44
	1,7823	2,1788	2,68	3,05	3,93	4,32
	1,7709	2,1604	2,65	3,01	3,85	4,22
	1,7613	2,1448	2,62	2,98	3,79	4,14
	1,7530	2,1314	2,60	2,95	3,73	4,07
	1,7459	2,1190	2,58	2,92	3,69	4,01
	1,7396	2,1098	2,57	2,90	3,65	3,96
	1,7341	2,1009	2,55	2,88	3,61	3,92
	1,7291	2,0930	2,54	2,86	3,58	3,88
	1,7247	2,0860	2,53	2,85	3,55	3,85
	1,7207	2,0796	2,52	2,83	3,53	3,82
	1,7171	2,0739	2,51	2,82	3,51	3,79
	1,7139	2,0687	2,50	2,81	3,49	3,77
	1,7109	2,0639	2,49	2,80	3,47	3,74
	1,7081	2,0595	2,49	2,79	3,45	3,72
	1,7056	2,0555	2,48	2,78	3,44	3,71
	1,7033	2,0518	2,47	2,77	3,42	3,69
	1,7011	2,0484	2,46	2,76	3,40	3,66
	1,6991	2,0452	2,46	2,76	3,40	3,66
	1,6973	2,0423	2,46	2,75	3,39	3,65
	1,6839	2,0211	2,42	2,70	3,31	3,55
	1,6706	2,0003	2,39	2,66	3,23	3,46
	1,6577	1,9840	2,36	2,62	3,17	3,37
∞	1,6479	1,9647	2,33	2,58	3,09	3,29
	0,05	0,025	0,01	0,005	0,001	0,0005
	Уровень значимости (односторонняя критическая область)

Приложение 7
Критические точки распределения Фишера-Снедекора ( – число степеней свободы большей дисперсии, – число степеней свободы меньшей дисперсии)
Уровень значимости
	98,49	99,01	90,17	99,25	99,33	99,30	99,34	99,36	99,36	99,40	99,41	99,42
	34,12	30,81	29,46	28,71	28,24	27,91	27,67	27,49	27,34	27,23	27,13	27,05
	21,20	18,00	16,69	15,98	15,52	15,21	14,98	14,80	14,66	14,54	14,45	14,37
	16,26	13,27	12,06	11,39	10,97	10,67	10,45	10,27	10,15	10,05	9,96	9,89
	13,74	10,92	9,78	9,15	8,75	8,47	8,26	8,10	7,98	7,87	7,79	7,72
	12,25	9,55	8,45	7,85	7,46	7,19	7,00	6,84	6,71	6,62	6,54	6,47
	11,26	8,65	7,59	7,01	6,63	6,37	6,19	6,03	5,91	5,82	5,74	5,67
	10,56	8,02	6,99	6,42	6,06	5,80	5,62	5,47	5,35	5,26	5,18	5,11
	10,04	7,56	6,55	5,99	5,64	5,39	5,21	5,06	4,95	4,85	4,78	4,71
	9,86	7,20	6,22	5,67	5,32	5,07	4,88	4,74	4,63	4,54	4,46	4,40
	9,33	6,93	5,95	5,41	5,06	4,82	4,65	4,50	4,39	4,30	4,22	4,16
	9,07	6,70	5,74	5,20	4,86	4,62	4,44	4,30	4,19	4,10	4,02	3,96
	8,86	6,51	5,56	5,03	4,69	4,46	4,28	4,14	4,03	3,94	3,86	3,80
	8,68	6,36	5,42	4,89	4,56	4,32	4,14	4,00	3,89	3,80	3,73	3,67
	8,53	6,23	5,29	4,77	4,44	4,20	4,03	3,89	3,78	3,69	3,61	3,55
	8,40	6,11	5,18	4,67	4,34	4,10	3,93	3,79	3,68	3,59	3,52	3,45
Уровень значимости
	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,36	19,37	19,38	19,39	19,40	19,41
	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,88	8,84	8,81	8,78	8,76	8,74
	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00	5,96	5,93	5,91
	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,78	4,74	4,70	4,68
	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,10	4,06	4,03	4,00
	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,68	3,63	3,60	3,57
	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,39	3,34	3,31	3,28
	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18	3,13	3,10	3,07
	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02	2,97	2,94	2,91
	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	3,01	2,95	2,90	2,86	2,82	2,79
	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,92	2,85	2,80	2,76	2,72	2,69
	4,67	3,80	3,41	3,18	3,02	2,92	2,84	2,77	2,72	2,67	2,63	2,60
	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,77	2,70	2,65	2,60	2,56	2,53
	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,70	2,64	2,59	2,55	2,51	2,48
	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,66	2,59	2,54	2,49	2,45	2,42
	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,62	2,55	2,50	2,45	2,41	2,38

Оглавление

Введение

§1. Первичная обработка результатов наблюдений

§2. Расчет выборочных характеристик статистического распределения

§3. Интервальные (доверительные) оценки параметров распределения

§4. Лабораторная работа №1

§5. Построение кривой нормального распределения по опытным данным

§6. Проверка статистических гипотез

§7. Лабораторная работа №2

§8. Понятие корреляционной зависимости. Задачи теории корреляции

§9. Парная линейная корреляция

§10. Коэффициент корреляции, его свойство и значимость

§11. Определение надежности (доверительного интервала) коэффициента корреляции

§12. Коэффициент корреляции

§13. Проверка адекватности модели

§14. Оценка величины погрешности линейного однофакторного уравнения

§15. Лабораторная работа №3

§16. Лабораторная работа №4

§17. Нелинейная корреляционная зависимость

§18. Определение силы криволинейной связи

§19. Проверка адекватности модели

§20. Лабораторная работа №5

§21. Множественная прогрессия

§22. Измерение тесноты связи множественной линейной регрессии

§23. Проверка адекватности модели множественной линейной регрессии

§24. Экономическая интерпретация уравнения регрессии

§25. Лабораторная работа №6

Литература

Приложения

Литература.

1. В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 1997.

2. В.Н. Калинина, В.Ф. Панкин. Математическая статистика: Учебник для студ. сред. спец. учеб. заведений.- М. – Высш. шк., 2001.

3. В.А. Колемаев, В.Н. Калинина. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: “ Инфра – М “,1997.

4. Ферстер Э., Рёнц Б. Методы корреляционного и регрессивного анализа. – М.: «Статистика», 1987.

5. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч.2: учеб. пособие для студентов вузов.- М.: Высшая школа, 1982.

6. В.И. Губин. Лекции по высшей математике Ч.2: Учебное пособие для студентов дневной и заочной форм обучения.- Тюмень, 1996.

7. М.Н. Степнов. Статистические методы обработки результатов механических испытаний: Справочник.- М.: Машиностроения, 1985.

8. А.Р. Янпольский. Лабораторный вычислительный практикум.- М.: Издание ВИА, 1968.

9. Е.З. Климова, А.П. Миллионщикова, Н.О. Фастовец. Задачи по математической статистике. Москва, МИНХ И ГП им. И.М. Губкина, 1976.

10. Л.Г. Орлова. Задания для лабораторных работ по математической статистике и методические указания по их выполнению. Тюмень, ТИИ, 1983.