rus | ua | other

Поверхности второго порядка

Date: 2015-10-07; view: 329.

31. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельную плоскости .

32. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости .

34. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно двум плоскостям: , .

35. Найти расстояние от точки до плоскости

36. Найти оси Оy, найти координаты точек, отстоящих от плоскости 2x+2y+z-3=0 на расстоянии d=2.

37. Даны вершины треугльника А(1,2,3), В(3,3,5), С(9,6,7). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутренго угла при вершине В.

38. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно прямой , , .

39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости .

40. Найти проекцию точки Р (2;3;0) на прямую.x=t+3, y=7t-3, z=-3t+6.

41. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(3,-9,10) относительно плоскости .

42. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(2,16,-7) относительно прямой .

43. Вычислить расстояние от точки от прямой .

44. Составить уравнение прямой l, которая проходит через точку

M₀(4,-1,4) перпендикулярно вектору , и пересекает прямую l₁: используя последовательность действий:

а) составить уравнение плоскости П, проходящей через точку М₀ с нормальным вектором ;

б) найти координаты точки М₁ пересечения прямой l₁ с плоскостью П (см. задачу 39);

в) составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки. М₀ и М₁.

45. Даны координаты вершины пирамиды А₁(2, 4, 3), А₂(4, 4, 1), А₃(3, 5, 3), А₄(5, 3, 2). Найти:

1) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

2) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

3) уравнение прямой А₁А₂;

4) уравнение плоскости А₁А₂А₃;

5) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) ; x=0; z=0 (x≥0, Z≥0),

б) x²+y²-z²=0; z=1+

5. Элементы линейной алгебры:

МЕТОД ГАУССА. РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ

ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ; ФОРМУЛЫ КРАМЕРА;

МАТРИЦЫ; МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ;

линейное векторное пространство;

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ (НЕЗАВИСЕМОСТЬ)

СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ; линейные операторы;

СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ

ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу , где

А= , В= , С= .

50. Найти ранги матриц:

а) ; б) .

51. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить тремя способами:

а) методом Гаусса;

б) средствами матричного исчисления;

в) по формулам Крамера.

52. Являются ли вещественными линейным пространствами:

а) множество всех векторов из арифметического пространства R₄ вида (а,о,в,с)?

б) множество всех векторов из арифметического пространства R₄ вида

(а,1 ,в,с)?

53. Найти все значения , при которых вектор линейно выражается через векторы , если =(1,3,5), =(3,2,5), =(2,4,7),

=(5,6, l).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из линейно зависимой? =(1,2,1,–1), =(0,1,1,–1), =(1,3,2,-2), =(1,-1,0,2).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве R₃, матрицы которых относительно некоторого прямоугольного базиса имеют вид:

а) ; б)

.56. Является ли оператор где линейным? Если да, найти его матрицу в базисе ( .

57. Линейный оператор на плоскости ХОУ зеркально отражает все векторы относительно оси ОУ, а линейный оператор проецирует все векторы плоскости на прямую . Найти матрицы операторов и в базисе .

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А= .

ответы:

1 . 2.Уравнение медианы: 4x-y-13=0; уравнение высоты: 3х-2у-11=0. 3.

М₁(6;-1). 4.D(-2;3). 5. (2, -1) и (3, 1). 6. 4 , х-5=0, х+8у+21=0. 7. х+3у+11=0; 3х-у+11=0; 3х-у-1=0. 8. 125 кв.ед. 9. 1) окружность с центром в полюсе и радиусом 2. 2) луч, выходящий из полюса, наклоненный к полярной оси под углом . 3) прямая, перпендикулярная к полярной оси, отсекающая на ней считая, от полюса, отрезок . 4) прямая, расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее на расстоянии равном 3 . 5) окружность с центром и радиусом 3. 6) окружность с центром и радиусом 1.

10. Гипербола , , полуоси , , . 11. . 12.Парабола: (х+2)²=-12(у+1). 13. б)

в) правая ветвь гиперболы: 14. а) 26, б) 30, в) 58, г) –1.

15. . 16. . 17. а) , , в) , с) . 18. . 19.-2 .20. . 21. .22. . 23. , .

24. . 25. 26. . 27. 18. 28. Компланарны. 29. 70/6. 30. 31. х-у+2z-2=0 . 32. .

33. . 34. . 35. . 36. и (0;-3/2;0). 37. . 38. . 39. . 40.(4;4;3). 41. . 42. (0;2;-1) . 43. 3. 44. . 45. 1)arccos , 2) , 3) 4) , 5) . 47. , . 48. , где . 49. . , , , . 50. а) r=2, б) r=3. 51. х₁=3, х₂=2, х₃=-1. 52. а) да, б) нет. 53. . 54. да. 55. а) проектирование на ось Оy, б) отражение относительно плоскости хОу. 56. Оператор линейный;