rus | ua | other

Векторное и смешанное произведения векторов

Date: 2015-10-07; view: 264.

Вариант 5

1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ:

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

НА ПЛОСКОСТИ; ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ;

ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

1. Доказать, что треугольник с вершинами А₁(2,0), А₂ (3,2), А₃ (6,-2) прямоугольный.

2. Даны вершины треугольника А(5;-2), В(1;-4), С(7;-8). Составить уравнение его медианы и высоты, проведенных из вершины А.

3. Найти координаты точки М₁, симметричной точке М₂(6,-7) относительно прямой, проходящей через точки А(1,-2), В(-3,0).

4. Даны три вершины параллелограмма А(2,-6), В(4,-4),

С(-2,2).Определить координаты четвертой вершины D, противоположной В.

5. Отрезок, ограниченный точками А(3,-3) и В(6,3), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

6. Даны две вершины А(2,-2), В(4,6) треугольника АВС и точка N(3,-2) пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.

7. Уравнение одной из сторон квадрата х+3у-2=0.Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если (2,-2) – точка пересечения его диагоналей.

8. Точка А(-2,–7) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой: . Вычислить площадь квадрата.

9. Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):

а) r=6; б) r= ; в) r= ; г) ; д) ; е) .

10. Установить, какая линия определяется уравнением . Найти координаты ее центра, полуоси, эксцентриситет. Сделать чертеж.

11.Точка М₁(5,-1) является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямой у+3=0. Составить уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет .

12. Составить уравнение линии, для каждой точки которой равноудалена от точки А(6,-2) и от прямой х-2=0. Определить какая это линия. Сделать чертеж.

13. Линия задана уравнением в полярной системе координат.

Требуется: а) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ;

б) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;

в) по полученному уравнению определить, какая это линия.

2. Определители. Базис в пространстве.

Координаты вектора

14. Вычислить определители:

а) по правилу треугольника;

б) разложением по элементам первой строки;

в) разложением по элементам второго столбца;

г) сведением к треугольному виду:

а) , б) , в) , г) .

15. Даны векторы: ₁=(3,1,10); ₂=(4,2,1); ₃=(9,2,3); =(30,7,19) в некотором базисе. Показать, что первые три вектора сами образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

3. Линейные операции над векторами.

Проекция вектора на ось. Скалярное,

16. Найти координаты единичного вектора (орта) , сонаправленного с вектором =(2,-3,-6).

17. Два вектора =(2,-1,2) и =(–2,3,6) приложены к одной точке. Найти координаты:

а) ортов и векторов и ;

б) вектора + ;

в) вектора , направленного по биссектрисе угла между векторами и при условии, что .

18. Найти проекцию вектора =(5;3;-1) на направление вектора .

19. Найти проекцию вектора =(2,–3,-5) на ось, составляющую с координатными осями равные тупые углы.

20. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали АС и ВD пересекаются в точке О. Известно, что .Найти величену угла между векторами и используя последовательность действий:

а) ввести декартову прямоугольную систему координат ХОУ с началом в точке О так, чтобы ось Ох была направлена по диагонали АС (построение четырехугольника нужно начинать с построения диагоналей АС и ВD, причем диагональ АС удобнее расположить горизонтально);

б) найти в этой системе координаты точек А,В,С,D;

в) найти координаты векторов и ;

г) найти по формуле