ИДЗ № 1 «Матричные операции» 13 page

Date: 2015-10-07; view: 394.

36. Даны вершины треугольника А(6, 0, 2), В(8, 3, 2), С(6, –3, –1). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.

37. На оси найти координаты точек, отстоящих от плоскости на расстоянии =6.

38. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₀(3, –4, –5), параллельно прямой , , .

39. Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости .

40. Найти проекцию точки Р(2, –1, 6) на прямую , , .

41. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(–2, 1, 6) относительно плоскости .

42. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(2, 6, –1) относительно прямой .

43. Вычислить растояние от точки Р(–1, 5, –3) до прямой .

44. Найти канонические уравнения прямой , которая проходит через точку М₀(0, –1, 2) параллельно плоскости и пересекает прямую .

Указание. Использовать последовательность действий:

а) составить уравнение плоскости , проходящей через точку М₀, параллельную плоскости ;

б) найти координаты точки М₁ пересечения прямой с плоскостью (см. задачу 39);

в) составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки М₀ и М_1.

45. Даны координаты вершин пирамиды А₁(–1, –1, 5), А₂(1, 4, 2), А₃(4, 1, 1), А₄(2, 3, 6). Найти: 1) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 2) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 3) уравнение прямой А₁А₂; 4) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 5) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

46. Построить эскиз тела, ограниченного поверхностями:

а) , , , ;

б) , , , , ;

5. Элементы линейной алгебры: системы линейных уравнений; матрицы; линейное векторное пространство; линейные операторы

47. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

48. Найти все вещественные матрицы, перестановочные с матрицей .

49. Найти матрицу , где

А= , В= , С= .

50. Найти ранг матриц:

а) ; б) .

51. Дана система линейных уравнений

Доказать ее совместность и решить тремя способами: а) методом Гаусса; б) средствами матричного исчисления; в) по формулам Крамера.

52. Является ли вещественными линейными пространствами:

а) множество всех вещественных матриц второго порядка вида , где ;

б) множество всех вещественных матриц второго порядка вида , где ;

53. Найти все значения , при которых вектор линейно выражается через векторы , если =(2, –1, 2), =(1, –2, 2), =(2, –1, 1), =(1, 2, ).

54. Выяснить, является ли данная система векторов из линейно зависимой? =(1, 2, 0, –1), =(2, 1, 1, 1), =(1, 2, 4, –1), =(2, 4, 4, –2).

55. Выяснить геометрический смысл действия линейных операторов, данных в пространстве , матрицы которых относительно ортонормированного базиса имеют вид:

а) ; б) .

56. В пространстве Р₂ всех многочленов степени вида , где оператор действует так: . Доказать, что оператор линеен и найти его матрицу в базисе , , .

57. В обычном пространстве линейный оператор зеркально отражает векторы относительно прямой , а линейный оператор ортогонально проецирует векторы на плоскость . Найти матрицы линейных операторов , , в базисе .

58. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей .

ответы:

1. 8 кв. ед. 2. 10; 26; 3. 4. , , . 5. и 6. , . 7. , , , . 8. , , . 9.1) окружность с центром в полюсе и радиусом 5. 2) луч, выходящий из полюса, наклоненный к полярной оси под углом . 3) прямая, перпендикулярная к полярной оси, отсекающая на ней считая, от полюса, отрезок . 4) прямая, расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от нее на расстоянии равном 5. 5) окружность с центром и радиусом 2. 6) окружность с центром и радиусом 3. 10. эллипс , , , , . 11. гипербола . , , . гипербола . 13. парабола: б) в) 14. а) 24, б) 94, в) 21, г) –4. 15. . 16. . 17. , , , . 18. . 19. . 20. . 21. . 22. , . 23. , . 24. кв. ед., . 25. . 26. . 27. . 28. правая тройка. 29. . 30. .

31. . 32. . 33. . 34. . 35. . 36. . 37. и . . 38. . 39. . 40. . 41. . 42. . 43. . 44. .

45. 1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

47. , . 48. , где .

49. , , ,

. 50. а) , б) . 51. , , .

52. а) да, б) нет. 53. . 54. да. 55. а) проектирование на ось , б) проектирование на плоскость . 56. Оператор линейный;

– его матрица в базисе .

57. , , .

58. Собственные значения: , , , собственные векторы: для , где любые вещественные числа одновременно не равные нулю; для , где .

Задание № 1.Найти: 1) А+В; 2) 3А+2В; 3) (А+В)С; 4) ;

5) проверить ,

где ,

– последняя цифра номера группы на потоке,

– номер студента в групповом списке (номер варианта).

Задание № 2.Вычислить определители матриц А, В, С

Вариант 1	Вариант 2
Вариант 3	Вариант 4
Вариант 5	Вариант 6
Вариант 7	Вариант 8
Вариант 9	Вариант 10
Вариант 11	Вариант 12
Вариант 13	Вариант 14
Вариант 15	Вариант 16
Вариант 17	Вариант 18
Вариант 19	Вариант 20
Вариант 21	Вариант 22
Вариант 23	Вариант 24
Вариант 25	Вариант 26