ІНФІНІТИВ - THE INFINITIVE

Date: 2015-10-07; view: 757.

Unit 3

Вариант 10

Вариант 9

Вариант 8

Вариант 7

Вариант 6

Вариант 5

Вариант 4

Вариант 3

Вариант 2

Вариант 1

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

Модуль «Алгебра высказываний»

Специальности

Математика с дополнительной специальностью Физика

Информатика с дополнительной специальностью Математика

Физика с дополнительной специальностью Информатика

1. Какие из следующих предложений являются высказываниями? Какие из высказываний истинные, а какие – ложные

- Солнце есть спутник Земли.

- 2+3>4.

- Сегодня отличная погода.

- В романе Л.Н. Толстого “Война и мир” 3 432 536 слов.

2. Пусть через A обозначено высказывание «9 делится на 3», а через B – высказывание «8 делится на 3». Сформулировать отрицания следующих высказываний и определить значения их истинности:

; ; .

3. Составьте таблицу истинности для следующей формулы, укажите, является ли формула выполнимой, опровержимой, тождественно истинной (тавтологией), тождественно ложной (противоречием).

.

4. Докажите, что следующая формула выполнима не составляя для неё таблиц истинности, указав какие-нибудь значения входящих в неё пропозициональных переменных, при которых эта формула обращаются в истинное высказывание

.

5. Применяя равносильные преобразования, приведите формулу к возможно более простой форме:

6. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы отрицание было отнесено только к пропозициональным переменным и не стояло перед скобками:

.

7. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы она содержала только логические связки :

.

8. С помощью равносильных преобразований установите, выполняется ли равносильность:

.

9. Упростите систему истинных высказываний, т.е. найдите логически эквивалентную ей систему, состоящую из меньшего числа не более сложных высказываний:

.

10. Докажите, что справедливо следующие логическое следования, руководствуясь определением этого понятия; выясните, будут ли верны обратные следования, т.е. будет ли формула, стоящая слева, логическим следствием формулы справа:

.

11. Докажите, что справедливо следующее логическое следование, руководствуясь определением этого понятия:

.

12. Расположите формулы так, чтобы из каждой логически следовали все стоящие после нее:

.

13. Методом от противного выясните, верно ли следующее логическое следование:

14. Приведите равносильными преобразованиями формулу к дизъюнктивной нормальной форме, конъюнктивной нормальной форме, совершенной дизъюнктивной нормальной форме, совершенной конъюнктивной нормальной форме .

15. Для формулы алгебры высказываний из задания 14 найдите СДН-форму, СКН-форму с помощью таблицы истинности.

16. Андрей или очень переутомился (А), или болен (В). Если он очень переутомился, то он раздражается (С). Он не раздражается. Следует ли отсюда, что он не болен?

17. Найдите все следствия из посылок: «Если целое число делится на 2 и на 5, то оно делится на 10»; «Целое число делится на 2 и не делится на 5». Выразите полученные следствия в содержательной форме.

18. Четверо друзей – Андрей, Борис, Сергей и Дмитрий – решили пойти на рыбалку. Но Дмитрий в последний момент отказался и высказал следующие предположения:

– Андрей не пойдет на рыбалку, но Борис обязательно пойдет.

– Не верно, что пойдут Андрей и Сергей.

– Борис пойдет на рыбалку или не пойдет Сергей.

– Если пойдет Борис, то пойдет на рыбалку и Сергей.

Если предположить, что все высказывания Дмитрия оказались истинными, кто пошел на рыбалку?

1. Какие из следующих предложений являются высказываниями? Какие из высказываний истинные, а какие – ложные

- Санкт-Петербург расположен на Неве.

- Музыка Баха слишком сложна.

- Первая космическая скорость равна 7.8 км/сек.

- Железо — металл.

2. Пусть через A обозначено высказывание «9 делится на 3», а через B – высказывание «8 делится на 3». Сформулировать отрицания следующих высказываний и определить значения их истинности:

; ; .

3. Составьте таблицу истинности для следующей формулы, укажите, является ли формула Выполнимой, опровержимой, тождественно истинной (тавтологией), тождественно ложной (противоречием).

4. Докажите, что следующая формула выполнима не составляя для неё таблиц истинности, указав какие-нибудь значения входящих в неё пропозициональных переменных, при которых эта формула обращаются в истинное высказывание .

5. Применяя равносильные преобразования, приведите формулу к возможно более простой форме:

6. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы отрицание было отнесено только к пропозициональным переменным и не стояло перед скобками:

7. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы она содержала только логические связки :

.

8. С помощью равносильных преобразований установите, выполняется ли равносильность:

.

9. Упростите систему истинных высказываний, т.е. найдите логически эквивалентную ей систему, состоящую из меньшего числа не более сложных высказываний:

.

10. Докажите, что справедливо следующие логическое следования, руководствуясь определением этого понятия; выясните, будут ли верны обратные следования, т.е. будет ли формула, стоящая слева, логическим следствием формулы справа:

.

11. Докажите, что справедливо следующее логическое следование, руководствуясь определением этого понятия:

.

12. Расположите формулы так, чтобы из каждой логически следовали все стоящие после нее:

.

13. Методом от противного выясните, верно ли следующее логическое следование:

.

14. Приведите равносильными преобразованиями формулу к дизъюнктивной нормальной форме, конъюнктивной нормальной форме, совершенной дизъюнктивной нормальной форме, совершенной конъюнктивной нормальной форме .

15. Для формулы алгебры высказываний из задания 14 найдите СДН-форму, СКН-форму с помощью таблицы истинности.

16. Если выиграет самарский «Спартак» (А), то Самара будет торжествовать (В). Если же выиграет саратовский «Сокол» (С), то торжествовать будет Саратов (D). Выиграет или «Спартак», или «Сокол». Однако если выиграет «Спартак», то Саратов не будет торжествовать, а если выиграет «Сокол», то торжествовать не будет Самара. Вытекает ли отсюда, что Самара будет торжествовать тогда и только тогда, когда не будет торжествовать Саратов?

17. Найдите все следствия из посылок: «Если у четырехугольника две противоположные стороны параллельны и они же равны, то этот четырехугольник – параллелограмм»; «У данного четырехугольника две противоположные стороны равны или параллельны». Выразите полученные следствия в содержательной форме.

18. Четверо школьников, наблюдая за движущимся на большой высоте объектом, высказали свои предположения. Первый сказал: «Высота объекта больше 10 тысяч метров или это перехватчик ПВО (противоздушной обороны) со скоростью выше скорости звука». Второй предположил: «Если высота объекта больше 10 км, то это не перехватчик ПВО и скорость объекта ниже скорости звука». Третий заявил: Это НЛО или скорость объекта больше скорости звука». Четвертый частично поддержал третьего, предположив: «Если скорость объекта больше скорости звука, то это наверняка НЛО». Если высказывания всех четырех школьников истинны, то, что это был за объект, и на какой высоте, и с какой скоростью он летел?

1. Какие из следующих предложений являются высказываниями? Какие из высказываний истинные, а какие – ложные

- Кислород – газ.

- Каша – вкусное блюдо.

- Математика – интересный предмет.

- Картины Пикассо – слишком абстрактны.

2. Пусть через A обозначено высказывание «9 делится на 3», а через B – высказывание «8 делится на 3». Сформулировать отрицания следующих высказываний и определить значения их истинности:

; ; .

3. Составьте таблицу истинности для следующей формулы, укажите, является ли формула Выполнимой, опровержимой, тождественно истинной (тавтологией), тождественно ложной (противоречием).

.

4. Докажите, что следующая формула выполнима не составляя для неё таблиц истинности, указав какие-нибудь значения входящих в неё пропозициональных переменных, при которых эта формула обращаются в истинное высказывание

.

5. Применяя равносильные преобразования, приведите формулу к возможно более простой форме:

.

6. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы отрицание было отнесено только к пропозициональным переменным и не стояло перед скобками:

.

7. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы она содержала только логические связки :

.

8. С помощью равносильных преобразований установите, выполняется ли равносильность:

.

9. Упростите систему истинных высказываний, т.е. найдите логически эквивалентную ей систему, состоящую из меньшего числа не более сложных высказываний:

.

10. Докажите, что справедливо следующие логическое следования, руководствуясь определением этого понятия; выясните, будут ли верны обратные следования, т.е. будет ли формула, стоящая слева, логическим следствием формулы справа:

.

11. Докажите, что справедливо следующее логическое следование, руководствуясь определением этого понятия:

.

12. Расположите формулы так, чтобы из каждой логически следовали все стоящие после нее:

.

13. Методом от противного выясните, верно ли следующее логическое следование:

.

14. Приведите равносильными преобразованиями формулу к дизъюнктивной нормальной форме, конъюнктивной нормальной форме, совершенной дизъюнктивной нормальной форме, совершенной конъюнктивной нормальной форме .

15. Для формулы алгебры высказываний из задания 14 найдите СДН-форму, СКН-форму с помощью таблицы истинности.

16. Или Анна и Антон одного возраста (А), или Анна старше Антона (В). Если Анна и Антон одного возраста, то Наташа и Антон не одного возраста (С). Если Анна старше Антона, то Антон старше Николая (D). Следует ли отсюда, что либо Наташа и Антон не одного возраста, либо Антон старше Николая?

17. Найдите все следствия из посылок: «Если целое число делится на 2 и на 5, то оно делится на 10»; «Целое число делится на 2 и не делится на 5». Выразите полученные следствия в содержательной форме.

18. Перед началом забегов зрители обсуждали скаковые возможности трех лучших лошадей с кличками «Абрек», «Ветер», «Стрелок». - Победит или «Абрек», или «Стрелок», - сказал один болельщик. - Если «Абрек» будет вторым, то победу принесет «Ветер», - сказал другой болельщик. - Много вы понимаете в лошадях, - возмутился третий болельщик. Вторым придет или 'Ветер», или «Абрек». - А я вам скажу, - вмешался четвертый болельщик, - что если «Абрек» придет третьим, то «Стрелок» не победит. После забега выяснилось, что три лошади - «Абрек», «Ветер» и «Стрелок» - заняли три первых места, не деля между собой ни одного из мест, и что все четыре предсказания болельщиков были правильны. Как кончился забег?

1. Какие из следующих предложений являются высказываниями? Какие из высказываний истинные, а какие – ложные

- Железо тяжелее свинца.

- Да здравствует лето!

- Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.

- Если в треугольнике все стороны равны, то он равносторонний.

2. Пусть через A обозначено высказывание «9 делится на 3», а через B – высказывание «8 делится на 3». Сформулировать отрицания следующих высказываний и определить значения их истинности:

; ; .

3. Составьте таблицу истинности для следующей формулы, укажите, является ли формула Выполнимой, опровержимой, тождественно истинной (тавтологией), тождественно ложной (противоречием).

.

4. Докажите, что следующая формула выполнима не составляя для неё таблиц истинности, указав какие-нибудь значения входящих в неё пропозициональных переменных, при которых эта формула обращаются в истинное высказывание

.

5. Применяя равносильные преобразования, приведите следующие формулы к возможно более простой форме:

.

6. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы отрицание было отнесено только к пропозициональным переменным и не стояло перед скобками:

.

7. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы она содержала только логические связки :

.

8. С помощью равносильных преобразований установите, выполняется ли равносильность:

.

9. Упростите систему истинных высказываний, т.е. найдите логически эквивалентную ей систему, состоящую из меньшего числа не более сложных высказываний:

.

10. Докажите, что справедливо следующие логическое следования, руководствуясь определением этого понятия; выясните, будут ли верны обратные следования, т.е. будет ли формула, стоящая слева, логическим следствием формулы справа:

.

11. Докажите, что справедливо следующее логическое следование, руководствуясь определением этого понятия:

.

12. Расположите формулы так, чтобы из каждой логически следовали все стоящие после нее:

.

13. Методом от противного выясните, верно ли следующее логическое следование:

.

14. Приведите равносильными преобразованиями формулу к дизъюнктивной нормальной форме, конъюнктивной нормальной форме, совершенной дизъюнктивной нормальной форме, совершенной конъюнктивной нормальной форме

.

15. Для формулы алгебры высказываний из задания 14 найдите СДН-форму, СКН-форму с помощью таблицы истинности.

16. Если 6 – составное число (А), то 12 тоже составное число (В). Если 12 – составное число, то существует составное число больше, чем 12 (С). Если существует простое число больше 12, то существует составное число больше 12 (D). Если 6 делится на 2 (Е), то 6 – составное число. Число 12 составное. Следует ли отсюда, что 6 – составное число?

17. Найдите все следствия из посылок: «Если у четырехугольника две противоположные стороны параллельны и они же равны, то этот четырехугольник – параллелограмм»; «У данного четырехугольника две противоположные стороны равны или параллельны». Выразите полученные следствия в содержательной форме.

18. Один из 3 братьев поставил на скатерть кляксу. - Кто запачкал скатерть? - спросила бабушка. - Витя не ставил кляксу, - сказал Алеша, - Это сделал Боря. - Ну а ты что скажешь? - спросила бабушка Борю. - Это Витя поставил кляксу, - сказал Боря, - А Алеша не пачкал скатерть. - Так я и знала, что вы друг на друга сваливать будете, - рассердилась бабушка. - Ну а каков твой ответ? - спросила она Витю. - Не сердись бабуля! Я знаю, что Боря не мог этого сделать. А я сегодня не готовил уроков - сказал Витя. Оказалось, что двое мальчиков в каждом из двух своих заявлений сказали правду, а один оба раза сказал неправду. Кто поставил на скатерть кляксу?

1. Какие из следующих предложений являются высказываниями? Какие из высказываний истинные, а какие – ложные

- Москва – столица Российской Федерации.

- Студент физико-математического факультета педагогического института.

- Треугольник ABC подобен треугольнику A'B'C'.

- Луна есть спутник Марса.

2. Пусть через A обозначено высказывание «9 делится на 3», а через B – высказывание «8 делится на 3». Сформулировать отрицания следующих высказываний и определить значения их истинности:

; ;

3. Составьте таблицу истинности для следующей формулы, укажите, является ли формула Выполнимой, опровержимой, тождественно истинной (тавтологией), тождественно ложной (противоречием).

.

4. Докажите, что следующая формула выполнима не составляя для неё таблиц истинности, указав какие-нибудь значения входящих в неё пропозициональных переменных, при которых эта формула обращаются в истинное высказывание

.

5. Применяя равносильные преобразования, приведите следующие формулы к возможно более простой форме:

.

6. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы отрицание было отнесено только к пропозициональным переменным и не стояло перед скобками:

.

7. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы она содержала только логические связки :

.

8. С помощью равносильных преобразований установите, выполняется ли равносильность:

.

9. Упростите систему истинных высказываний, т.е. найдите логически эквивалентную ей систему, состоящую из меньшего числа не более сложных высказываний:

.

10. Докажите, что справедливо следующие логическое следования, руководствуясь определением этого понятия; выясните, будут ли верны обратные следования, т.е. будет ли формула, стоящая слева, логическим следствием формулы справа:

.

11. Докажите, что справедливо следующее логическое следование, руководствуясь определением этого понятия:

.

12. Расположите формулы так, чтобы из каждой логически следовали все стоящие после нее:

.

13. Методом от противного выясните, верно ли следующее логическое следование:

.

14. Приведите равносильными преобразованиями формулу к дизъюнктивной нормальной форме, конъюнктивной нормальной форме, совершенной дизъюнктивной нормальной форме, совершенной конъюнктивной нормальной форме

.

15. Для формулы алгебры высказываний из задания 14 найдите СДН-форму, СКН-форму с помощью таблицы истинности.

16. Если я поеду автобусом (А), а автобус опоздает (В), то я пропущу назначенное свидание (С). Если я пропущу назначенное свидание и начну огорчатся (D), то мне не следует ехать домой (Е). Если я не получу работу (Р), тоя начну огорчатся и мне следует поехать домой. Следует ли тогда, что если я поеду автобусом и автобус опоздает, то я получу работу?

17. Найдите все следствия из посылок: «Если целое число делится на 2 и на 5, то оно делится на 10»; «Целое число делится на 2 и не делится на 5». Выразите полученные следствия в содержательной форме.

18. Один из знатоков алгебры логики, приглашая к себе в гости приятеля, решил проверить его способности в решении логических задач. Он так охарактеризовал принцип действия своего четырехкнопочного кодового замка: «Замок открывается, если выполняются следующие четыре условия:

– если не нажата кнопка 3, то нужно нажать кнопку 1 и не нажимать кнопку 4;

– если нажать кнопку 4, то нужно нажать кнопку 3 и не нажимать кнопку 2;

– не верно, что нужно нажать кнопку 2 или не нажимать кнопку 3, и все это при том, что не нажата кнопка 4;

– не нажимая кнопку 4, нажать кнопку 1 и кнопку 3».

Приятель знатока решил задачу. Чему равно это решение?

1. Какие из следующих предложений являются высказываниями? Какие из высказываний истинные, а какие – ложные

- Число n делится на 2 или на 3”.

- Этот треугольник равнобедренный и прямоугольный.

- x < 2, x R (Вещественное число x меньше двух).

- На контрольной работе каждый ученик писал своей ручкой.

2. Пусть через A обозначено высказывание «7 делится на 3», а через B – высказывание «4 делится на 2». Сформулировать отрицания следующих высказываний и определить значения их истинности:

; ; .

3. Составьте таблицу истинности для следующей формулы, укажите, является ли формула Выполнимой, опровержимой, тождественно истинной (тавтологией), тождественно ложной (противоречием).

.

4. Докажите, что следующая формула опровержима не составляя для неё таблиц истинности, указав какие-нибудь значения входящих в неё пропозициональных переменных, при которых эта формула обращаются в ложное высказывание

.

5. Применяя равносильные преобразования, приведите следующие формулы к возможно более простой форме:

.

6. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы отрицание было отнесено только к пропозициональным переменным и не стояло перед скобками:

.

7. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы она содержала только логические связки :

.

8. С помощью равносильных преобразований установите, выполняется ли равносильность:

.

9. Для системы высказываний найдите логически эквивалентную ей, но более простую систему высказываний, если известно, что в данной системе по меньшей мере одно высказывание истинно:

.

10. Докажите, что справедливо следующие логическое следования, руководствуясь определением этого понятия; выясните, будут ли верны обратные следования, т.е. будет ли формула, стоящая слева, логическим следствием формулы справа:

.

11. Докажите, что справедливо следующее логическое следование, руководствуясь определением этого понятия:

.

12. Расположите формулы так, чтобы из каждой логически следовали все стоящие после нее:

.

13. Методом от противного выясните, верно ли следующее логическое следование:

.

14. Приведите равносильными преобразованиями формулу к дизъюнктивной нормальной форме, конъюнктивной нормальной форме, совершенной дизъюнктивной нормальной форме, совершенной конъюнктивной нормальной форме

.

15. Для формулы алгебры высказываний из задания 14 найдите СДН-форму, СКН-форму с помощью таблицы истинности.

16. Саша или подготовит доклад по литературе (А), или реферат по истории (В). Если подготовит доклад по литературе, то он получит отличную отметку (С). Он не получил отличную отметку. Следует ли отсюда, что он не подготовил реферат по истории?

17. Найдите все следствия из посылок: «Если у четырехугольника две противоположные стороны параллельны и они же равны, то этот четырехугольник – параллелограмм»; «У данного четырехугольника две противоположные стороны равны или параллельны». Выразите полученные следствия в содержательной форме.

18. Четверо друзей – Андрей, Борис, Сергей и Дмитрий – решили пойти на рыбалку. Но Дмитрий в последний момент отказался и высказал следующие предположения:

– Андрей не пойдет на рыбалку, но Борис обязательно пойдет.

– Не верно, что пойдут Андрей и Сергей.

– Борис пойдет на рыбалку или не пойдет Сергей.

– Если пойдет Борис, то пойдет на рыбалку и Сергей.

Если предположить, что все высказывания Дмитрия оказались истинными, кто пошел на рыбалку?

1. Какие из следующих предложений являются высказываниями? Какие из высказываний истинные, а какие – ложные

- Картины Пикассо – слишком абстрактны.

- Солнце есть спутник Земли.

- 2+3<4.

- В романе Л.Н. Толстого “Война и мир” 3 432 536 слов.

2. Пусть через A обозначено высказывание «Белые медведи живут в Африке», а через B – высказывание «15 делится на 2». Сформулировать отрицания следующих высказываний и определить значения их истинности:

; .

3. Составьте таблицу истинности для следующей формулы, укажите, является ли формула Выполнимой, опровержимой, тождественно истинной (тавтологией), тождественно ложной (противоречием).

.

4. Докажите, что следующая формула опровержима не составляя для неё таблиц истинности, указав какие-нибудь значения входящих в неё пропозициональных переменных, при которых эта формула обращаются в ложное высказывание

.

5. Применяя равносильные преобразования, приведите следующие формулы к возможно более простой форме:

.

6. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы отрицание было отнесено только к пропозициональным переменным и не стояло перед скобками:

.

7. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы она содержала только логические связки :

.

8. С помощью равносильных преобразований установите, выполняется ли равносильность:

.

9. Для системы высказываний найдите логически эквивалентную ей, но более простую систему высказываний, если известно, что в данной системе по меньшей мере одно высказывание истинно:

.

10. Докажите, что справедливо следующие логическое следования, руководствуясь определением этого понятия; выясните, будут ли верны обратные следования, т.е. будет ли формула, стоящая слева, логическим следствием формулы справа:

.

11. Докажите, что справедливо следующее логическое следование, руководствуясь определением этого понятия:

.

12. Расположите формулы так, чтобы из каждой логически следовали все стоящие после нее:

.

13. Методом от противного выясните, верно ли следующее логическое следование:

.

14. Приведите равносильными преобразованиями формулу к дизъюнктивной нормальной форме, конъюнктивной нормальной форме, совершенной дизъюнктивной нормальной форме, совершенной конъюнктивной нормальной форме

.

15. Для формулы алгебры высказываний из задания 14 найдите СДН-форму, СКН-форму с помощью таблицы истинности.

16. Если Александр выиграет шахматный турнир (А), то он будет доволен (В). Если же выиграет Станислав (С), то будет доволен он (D). Выиграет или Александр, или Станислав. Однако если выиграет Александр, то Станислав не будет доволен, а если выиграет Станислав, то не будет доволен Александр. Вытекает ли отсюда, что Александр будет доволен тогда и только тогда, когда не будет доволен Станислав?

17. Найдите все следствия из посылок: «Если целое число делится на 2 и на 5, то оно делится на 10»; «Целое число делится на 2 и не делится на 5». Выразите полученные следствия в содержательной форме.

18. Один из знатоков алгебры логики, приглашая к себе в гости приятеля, решил проверить его способности в решении логических задач. Он так охарактеризовал принцип действия своего четырехкнопочного кодового замка: «Замок открывается, если выполняются следующие четыре условия:

– если не нажата кнопка 3, то нужно нажать кнопку 1 и не нажимать кнопку 4;

– если нажать кнопку 4, то нужно нажать кнопку 3 и не нажимать кнопку 2;

– не верно, что нужно нажать кнопку 2 или не нажимать кнопку 3, и все это при том, что не нажата кнопка 4;

– не нажимая кнопку 4, нажать кнопку 1 и кнопку 3».

Приятель знатока решил задачу. Чему равно это решение?

1. Какие из следующих предложений являются высказываниями? Какие из высказываний истинные, а какие – ложные

- Музыка Баха слишком сложна.

- Первая космическая скорость равна 7.8 км/сек.

- Треугольник ABC подобен треугольнику A'B'C'.

- Луна есть спутник Марса.

2. Пусть через A обозначено высказывание «4≤5», а через B – высказывание «15 делится на 2». Сформулировать отрицания следующих высказываний и определить значения их истинности:

; .

1. Составьте таблицу истинности для следующей формулы, укажите, является ли формула Выполнимой, опровержимой, тождественно истинной (тавтологией), тождественно ложной (противоречием).

.

2. Докажите, что следующая формула опровержима не составляя для неё таблиц истинности, указав какие-нибудь значения входящих в неё пропозициональных переменных, при которых эта формула обращаются в ложное высказывание

.

3. Применяя равносильные преобразования, приведите следующие формулы к возможно более простой форме:

.

4. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы отрицание было отнесено только к пропозициональным переменным и не стояло перед скобками:

.

5. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы она содержала только логические связки :

.

6. С помощью равносильных преобразований установите, выполняется ли равносильность:

.

7. Для системы высказываний найдите логически эквивалентную ей, но более простую систему высказываний, если известно, что в данной системе по меньшей мере одно высказывание истинно:

.

8. Докажите, что справедливо следующие логическое следования, руководствуясь определением этого понятия; выясните, будут ли верны обратные следования, т.е. будет ли формула, стоящая слева, логическим следствием формулы справа:

.

9. Докажите, что справедливо следующее логическое следование, руководствуясь определением этого понятия:

.

10. Расположите формулы так, чтобы из каждой логически следовали все стоящие после нее:

.

11. Методом от противного выясните, верно ли следующее логическое следование:

.

12. Приведите равносильными преобразованиями формулу к дизъюнктивной нормальной форме, конъюнктивной нормальной форме, совершенной дизъюнктивной нормальной форме, совершенной конъюнктивной нормальной форме

.

13. Для формулы алгебры высказываний из задания 14 найдите СДН-форму, СКН-форму с помощью таблицы истинности.

14. Или Ирина и Сергей одного роста (А), или Ирина выше Сергея (В). Если Ирина и Сергей одного роста, то Олег и Сергей не одного роста (С). Если Ирина выше Сергея, то Сергей выше Владимира (D). Следует ли отсюда, что либо Олег и Сергей не одного роста, либо Сергей выше Владимира?

15. Найдите все следствия из посылок: «Если у четырехугольника две противоположные стороны параллельны и они же равны, то этот четырехугольник – параллелограмм»; «У данного четырехугольника две противоположные стороны равны или параллельны». Выразите полученные следствия в содержательной форме.

16. Четверо школьников, наблюдая за движущимся на большой высоте объектом, высказали свои предположения. Первый сказал: «Высота объекта больше 10 тысяч метров или это перехватчик ПВО (противоздушной обороны) со скоростью выше скорости звука». Второй предположил: «Если высота объекта больше 10 км, то это не перехватчик ПВО и скорость объекта ниже скорости звука». Третий заявил: Это НЛО или скорость объекта больше скорости звука». Четвертый частично поддержал третьего, предположив: «Если скорость объекта больше скорости звука, то это наверняка НЛО». Если высказывания всех четырех школьников истинны, то, что это был за объект и на какой высоте и с какой скоростью он летел?

1. Какие из следующих предложений являются высказываниями? Какие из высказываний истинные, а какие – ложные.

- Если в треугольнике все стороны равны, то он равносторонний.

- Сегодня плохая погода.

- В романе А.С.Пушкина «Евгений Онегин» 136245 букв.

- Река Ангара впадает в Белое море.

2. Сформулировать отрицания следующих высказываний и определить значения их истинности:

- Если 4 – чётное число, то A

- Если B, то 4 – нечётное число.

3. Составьте таблицу истинности для следующей формулы, укажите, является ли формула Выполнимой, опровержимой, тождественно истинной (тавтологией), тождественно ложной (противоречием).

.

4. Докажите, что следующая формула опровержима не составляя для неё таблиц истинности, указав какие-нибудь значения входящих в неё пропозициональных переменных, при которых эта формула обращаются в ложное высказывание

.

5. Применяя равносильные преобразования, приведите следующие формулы к возможно более простой форме:

.

6. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы отрицание было отнесено только к пропозициональным переменным и не стояло перед скобками:

.

7. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы она содержала только логические связки :

.

8. С помощью равносильных преобразований установите, выполняется ли равносильность:

.

9. Для системы высказываний найдите логически эквивалентную ей, но более простую систему высказываний, если известно, что в данной системе по меньшей мере одно высказывание истинно:

.

10. Докажите, что справедливо следующие логическое следования, руководствуясь определением этого понятия; выясните, будут ли верны обратные следования, т.е. будет ли формула, стоящая слева, логическим следствием формулы справа:

.

11. Докажите, что справедливо следующее логическое следование, руководствуясь определением этого понятия:

.

12. Расположите формулы так, чтобы из каждой логически следовали все стоящие после нее:

.

13. Методом от противного выясните, верно ли следующее логическое следование:

.

14. Приведите равносильными преобразованиями формулу к дизъюнктивной нормальной форме, конъюнктивной нормальной форме, совершенной дизъюнктивной нормальной форме, совершенной конъюнктивной нормальной форме

.

15. Для формулы алгебры высказываний из задания 14 найдите СДН-форму, СКН-форму с помощью таблицы истинности.

16. Если 4 – составное число (А), то 8 тоже составное число (В). Если 8 – составное число, то существует составное число больше, чем 8 (С). Если существует простое число больше 8, то существует составное число больше 8 (D). Если 4 делится на 2 (Е), то 4 – составное число. Число 8 составное. Следует ли отсюда, что 4 – составное число?

17. Найдите все следствия из посылок: «Если целое число делится на 2 и на 5, то оно делится на 10»; «Целое число делится на 2 и не делится на 5». Выразите полученные следствия в содержательной форме.

18. Один из 3 братьев поставил на скатерть кляксу. - Кто запачкал скатерть? - спросила бабушка. - Витя не ставил кляксу, - сказал Алеша, - Это сделал Боря. - Ну а ты что скажешь? - спросила бабушка Борю. - Это Витя поставил кляксу, - сказал Боря, - А Алеша не пачкал скатерть. - Так я и знала, что вы друг на друга сваливать будете, - рассердилась бабушка. - Ну а каков твой ответ? - спросила она Витю. - Не сердись бабуля! Я знаю, что Боря не мог этого сделать. А я сегодня не готовил уроков - сказал Витя. Оказалось, что двое мальчиков в каждом из двух своих заявлений сказали правду, а один оба раза сказал неправду. Кто поставил на скатерть кляксу?

1. Какие из следующих предложений являются высказываниями? Какие из высказываний истинные, а какие – ложные

-

- Кислород – газ

- Каша – вкусное блюдо

- Математика – интересный предмет.

2. Определить значения истинности высказываний С и D в следующих ложных предложениях. Сформулировать отрицания следующих высказываний.

- Если 4 – чётное число, то C

- Если D, то 4 – нечётное число.

3. Составьте таблицу истинности для следующей формулы, укажите, является ли формула Выполнимой, опровержимой, тождественно истинной (тавтологией), тождественно ложной (противоречием).

.

4. Докажите, что следующая формула опровержима не составляя для неё таблиц истинности, указав какие-нибудь значения входящих в неё пропозициональных переменных, при которых эта формула обращаются в ложное высказывание

.

5. Применяя равносильные преобразования, приведите следующие формулы к возможно более простой форме:

.

6. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы отрицание было отнесено только к пропозициональным переменным и не стояло перед скобками:

.

7. Формулу преобразуйте равносильным образом так, чтобы она содержала только логические связки :

.

8. С помощью равносильных преобразований установите, выполняется ли равносильность:

.

9. Для системы высказываний найдите логически эквивалентную ей, но более простую систему высказываний, если известно, что в данной системе по меньшей мере одно высказывание истинно:

.

10. Докажите, что справедливо следующие логическое следования, руководствуясь определением этого понятия; выясните, будут ли верны обратные следования, т.е. будет ли формула, стоящая слева, логическим следствием формулы справа:

.

11. Докажите, что справедливо следующее логическое следование, руководствуясь определением этого понятия:

.

12. Расположите формулы так, чтобы из каждой логически следовали все стоящие после нее:

.

13. Методом от противного выясните, верно ли следующее логическое следование:

.

14. Приведите равносильными преобразованиями формулу к дизъюнктивной нормальной форме, конъюнктивной нормальной форме, совершенной дизъюнктивной нормальной форме, совершенной конъюнктивной нормальной форме

.

15. Для формулы алгебры высказываний из задания 14 найдите СДН-форму, СКН-форму с помощью таблицы истинности.

16. Если я поеду на машине (А), и попаду в «пробку» (В), то я пропущу назначенное свидание (С). Если я пропущу назначенное свидание и начну огорчатся (D), то мне не следует ехать домой (Е). Если я не получу работу (Р), то я начну огорчатся и мне следует поехать домой. Следует ли тогда, что если я поеду на машине и попаду в «пробку», то я получу работу?

17. Найдите все следствия из посылок: «Если у четырехугольника две противоположные стороны параллельны и они же равны, то этот четырехугольник – параллелограмм»; «У данного четырехугольника две противоположные стороны равны или параллельны». Выразите полученные следствия в содержательной форме.

18. Перед началом забегов зрители обсуждали скаковые возможности трех лучших лошадей с кличками «Абрек», «Ветер», «Стрелок». - Победит или «Абрек», или «Стрелок», - сказал один болельщик. - Если «Абрек» будет вторым, то победу принесет «Ветер», - сказал другой болельщик. - Много вы понимаете в лошадях, - возмутился третий болельщик. Вторым придет или 'Ветер», или «Абрек». - А я вам скажу, - вмешался четвертый болельщик, - что если «Абрек» придет третьим, то «Стрелок» не победит. После забега выяснилось, что три лошади - «Абрек», «Ветер» и «Стрелок» - заняли три первых места, не деля между собой ни одного из мест, и что все четыре предсказания болельщиков были правильны. Как кончился забег?

ФОРМИ ІНФІНІТИВА. ВИКОРИСТАННЯ ІНФІНІТИВА БЕЗ ЧАСТКИ “TO”

ЗАСОБИ ПЕРЕКЛАДУ ІНФІНІТИВА

ФОРМИ ІНФІНІТИВА

Примітка: Частка "to" не застосовується: 1) після модальних дієслів must, can/could, may/might, need, etc; 2) післядієслів: to make – “змушувати”; to let – “дозволяти”; 3) після висловлювань: had better –“краще було б”; would rather, would sooner – “віддав би перевагу”.