Матриці лінійних перетворень

Date: 2015-10-07; view: 504.

Відображення (перетворення) : називається лінійним оператором якщо виконуються наступні умови.

, , .

Таким чином, гомоморфізми є лінійними перетвореннями.

Матрицею розміра над полем називається прямокутна таблиця, що складається з рядків та стовбчиків, яка містить елементів (чисел) поля .

Елемент індексується номером рядка та номером стовбчика , на перетені яких він знаходится.

Дію лінійного оператора на вектори, що задані в координатній формі, можна визначити у термінах матричних операцій. При цьому, якщо задано базис , кожному оператору відповідає одна матриця з елементами, що належать . Легко зрозуміти, що координатний запис самих векторів базису у тому ж базисі має вид .

Стовбчик з номером матриці доівнює вектору, що отриманий в результаті дії оператора на -й вектор з базису простору .

Саме чарез це матриця оператора залежить від вибору базису.

Нагадаємо основні матричні операції.

Транспонуванням матриці розміру називається операція побудови матриці (інше позначення - ) розміру , де .

Сумою матриць і розміру називається матриця , де . Добуток матриці на константу з поля виконується покомнпонентно.

Лінійною формою над кільцем з вектором змінних і фіксованими коефіціентами , , називається функція .

Для функції деколи використовується позначення . Зауважимо, що на відміну від скалярного добутку, тут можливий випадок , при . Це залежить від операцій кільця .

Очевидно, лінійну функция повністю визначається набором коефіціентів, тобто її можна пов'язати з вектором , тому часто використовується позначення .

Очевидно, при функція є лінійним відображенням .

Добуток матриці розміру зліва на матрицю розміру визначено лише у випадку коли .

У загальному випадку .

Добуток матриць є асоциативним, якщо добутки, необхідні для виконання відповідних операцій, визначені.

У частковому випадку добутку матриці-рядка на матрицю-стовбчик , результат визначається як .

У загальному випадку елемент матриці визначається як , де - рядок матриці з номером , а - стовбчик матриці з номером .

Рангом матриці називається ранг системы її векторів-стовбчиків. Звичайно ранг позначається як .

Теорема 1.1 Ранг матриці співпадає з рангом системи її векторів-рядків.

Матриця розміру називається квадратною, якщо . Число называется її порядком.

Множина квадратних матриць порядку є некомутативним кільцем.

У цьому кільці нулем є матриця , що складається з нулів. Одиницею - матриця , у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють 1, а решта – 0.

Добуток квадратної матриці на константу визначається як . Можна легко переконатися, що , таким чином, матриці виду відіграють роль констант і .

Добуток квадратної матриці порядка на матрицю-стовбчик можна розглядати як операцію над вектором. Ця операція є линейным перетворенням - вимірного векторного простору.

Квадратна матриця називаєтся зворотною, якщо згадане перетворення є взаємно однозначним.

Нехай - зворотна матриця. Матрицею оберненою до називаєтся матриця , для якої виконується умови . Таким чином, у цьому випадку, якщо , то . Існуюь ефективні алгоритми побудови обернених матриць.

Квадратна матриця називається виродженою, якщо не існує. Необхідною і достатньою умовою виродженості квадратної матриці порядку є умова .

Ранг матриці не змінюється, якщо її довільний рядок (стовбчик) замінити на рядок (стовбчик) виду , де - рядок (стовбчик) даної матриці и . Кріт того, ранг матриці не змінюється при заміні на , , а також при довільних перестановках її рядків (стовбчиків).

Ці операції називаються елементарними перетвореннями матриці.

Головною діагоналлю с номером матриці розміру назвемо підмножину її елементів виду , де для . Якщо , то діагональ называєтся головною, всі інші діагоналі называются побічными. На рис. 1.1 елементи головної діагоналі позначені символом .

а) б) в)

Рис. 1.1 Головна діагональ матриці: а) - , б) - , в) - .

Використовуючи елементарні перетворення, ненульову матрицю завжди можна звести до виду, при якому нижче її головної діагоналі знаходяться тільки нулі (рис. 1.1 в), а на самій діагоналі, починаючи з верху, послідовно розташовуються декілька одиниць. Такий вигляд матриць називається трапецеїдальним.

Кількість цих одиниць дорівнює рангу матриці.