Цикли і транспозиції

Date: 2015-10-07; view: 771.

Кожну підстановку можна представити у виді добутку деяких спеціальних підстановок, що називаються циклами, причому, цикли попарно незалежні. Останнє означає, що підстановки , при , діють на підмножинах операнда підстановки , що не перетинаються (якщо не брати до уваги елементи, які залишаються нерухомими).

Нехай і - підстановка степеня , причому, . Підстановка називається -членним циклом, якщо вона не переміщує елементів, а її дію на решту елементів можна представити у вигляді циклічної діаграми переходів: . У цій діаграмі дозволяється тільки один перехід від елемента з більшим індексом, до елемента з меншим індексом, а саме: . Зазвичай діаграму записують як .

Наприклад, тричленний цикл п'ятого степеня .

Тут , , причому, , , , а елементи і нерухомі.

Циклічна діаграма переходів може бути виписана, починаючи з будь-якого свого елемента. Цикли записують у виді, аналогічному діаграміам переходів: . Нерухомим елементам співставляються так звані одиничні цикли виду . Одиничну підстановку розглядають як добуток одночленних циклів.

Часто підстановки записують у так званому циклічному записі. Цей запис надає підстановку у вигляді добутку незалежних циклів. Для цього досить виписати всі різні діаграми переходів.

Наприклад, деяка підстановка може виглядати як . Тут кількість циклів . Як правило, одночленні цикли при такому записі ігноруються, тобто .

Оскільки цикли незалежні, то порядок циклів у цикловому записі підстановки є довільним.

Цикловою структурою підстановки Називається запис виду , який означає, що розкладається в добуток циклів довжини 1, циклів довжини 2, і так далі, циклів довжини .

Найбільш простим циклом, очевидно, є підстановка, що переставляє місцями тільки два елементи. Такий двочленний цикл називається транспозицією.

Можна показати, що якщо підстановка степеня розкладається в добуток попарно незалежних циклів (включаючи й одночленні цикли) то її можна представити у вигляді добутку транспозиций. При цьому транспозиції не обов'язково є незалежними циклами, тобто наступна транспозиція може впливати на результат дії попередньої.

Величина називається декрементом підстановки.

Підстановка називається регулярною, якщо її циклічний запис складається з циклів рівної довжини. Підстановка називається повноцикловою, якщо її цикловий запис складається з одного циклу.

Підстановка називається парною (непарною) якщо її декремент парний (непарний) відповідно. Знаком (характером) підстановки називається значення .

Сформулюємо тепер визначення детермінанту для довільного поля.

Значення визначника матриці порядку над полем дорівнює знакозмінній сумі всіх членів визначника, що відповідають підстановкам групи : .