Передаточное отношение для тел совершающих вращательное движение.

Date: 2015-10-07; view: 443.

Основная теорема зацепления.

Основы теории высшей кинематической пары.

Понятие о полюсе и центроидах. Рассмотрим два твердых тела i и j , которые совершают друг по отношению к другу плоское движение. Свяжем с телом i систему координат 0_ix_iy_i , а с телом j систему координат 0_jx_jy_j . Плоское движение тела i относительно тела j в рассматриваемый момент эквивалентно вращению вокруг мгновенного центра скоростей или полюса P. Тогда геометрическое место полюсов относительного вращения в системе координат 0_ix_iy_i называется подвижной Ц_i, а в системе координат 0_jx_jy_j неподвижной Ц_j центроидой. В процессе рассматриваемого движения цетроиды контактируют друг с другом в полюсах относительного вращения и поэтому перекатываются друг по другу без скольжения, т.е.

V_Pi = V_Pj ; V_PiPj = 0 ;

тогда дуга S_wi равна дуге S_wj .

Рассмотрим два тела 1 и 2 , совершающих вращательное движение соответственно вокруг центров 0₁ и 0₂ с угловыми скоростями w₁ и w₂ (рис. 11.6). Причем нам неизвестно связаны эти тела между собой или нет. Как отмечено выше, полюс относительного вращения этих тел будет лежать в такой общей точке этих тел , где вектора скоростей как первого, так и второго тела будут равны. Для скоростей любой точки первого тела V_A = w₁×l_A01 , для любой точки второго - V_В = w₂×l_В02 . Равенство векторов скоростей по направлению для тел, совершающих вращательное движение, возможно только на линии соединяющей центры вращения тел. Поэтому полюс относительного вращения должен лежать на этой линии. Для определения положения полюса на линии центров составим следующее уравнение

V_P1 = w₁ × l_01P = w₁× r_w1,

V_P2 = w₂ × l_02P = w₂ × r_w2,

 

V_P1 = V_P2 , w₁× r_w1 = w₂ × r_w2

 

u₁₂ = w₁/w₂ = ± (r_w2/r_w1).

 

 

Таким образом, полюс относительного вращения звеньев лежит на линии центров и делит ее на отрезки обратно пропорциональные угловым скоростям.

Теорема Виллиса. Передаточное отношение между звеньями совершающими вращательное движение прямопропорционально отношению угловых скоростей и обратно пропорционально отношению расстояний от центров вращения до полюса.

Знак перед отношением показывает внешним (знак +, зацепление внутреннее) или внутренним (знак - , зацепление внешнее) образом делит полюс линию центров на отрезки r_w1 = l _01P и r_w2 = l _02P . Данная формула получена из рассмотрения вращательного движения двух тел, при этом тела могут быть и не связаны между собой.

Воспользуемся методом обращенного движения и рассмотрим движение нашей системы относительно звена 1. Для этого к скоростям всех звеньев механизма добавим - w₁. Тогда скорости звеньев изменятся следующим образом:

 

Движение механизма:	Звено 1	Звено 2	Звено 0
исходное	w1	w2	w0 = 0
относительно звена 1	w1 - w1 = 0	w21 = w2 - w1	w1 = - w01

 

Скорость любой точки звена 2 в относительном движении будет равно его угловой скорости в этом движении умноженной на расстояние от этой точки до полюса относительного вращения, т. е.

 

V_O2 = w₂₁ × l _02P = (w₂ - w₁) × r_w2 .

Перейдем к рассмотрению двух тел 1 и 2 , совершающих вращательное движение, соответственно вокруг центров 0₁ и 0₂ с угловыми скоростями w₁ и w₂ , и образующих между собой высшую кинематическую пару К (рис. 11.7).

n t w21 D V02 VK2 J // n-n K VK1 w1 k1 y21 w2 01 t k2 J P y21 02 VK2K1 rw1 rw2 aw n Рис. 11.7

 

Условием существования высшей кинематической пары является условие неразрывности контакта звеньев, которое заключается в том, что проекции скоростей звеньев в точке контакта на контактную нормаль к профилям должны быть равны

_ _

V^{пр. n-n}_K1 = V^пр.n-n_K2 или V_K2K1× n = 0,

 

т.е. скалярное произведение вектора относительной скорости в точке контакта на орт нормали равно нулю. Это условие обеспечивается, если скорость относительного движения контактных точек лежит на касательной ( в пространстве в касательной плоскости ). При выполнении этого условия профили не отстают друг от друга ( нарушение контакта приведет к исчезновению пары ), и не внедряются друг в друга

( что при принятом допущении о абсолютно жестких звеньях, невозможно ).

Как было показано выше скорость относительного скольжения в точке контакта равна

V_K2K1 = w₂₁ × l_KP ,

 

где l_KP - расстояние от контактной точки до полюса относительного вращения. Так как V_K2K1 перпендикулярна l_KP , а V_K2K1 должна лежать на касательной, то l_KP является нормалью к профилям в точке контакта. То есть контактная нормаль к профилям в высшей паре пересекает линию центров в полюсе относительного вращения.

 

 

Основная теорема зацепления.

Формулировка анализа. Контактная нормаль к профилям высшей пары пересекает линию центров в полюсе относительного вращения звеньев ( то что полюс делит линию центров на отрезки обратно пропроциональные угловым скоростям было доказано выше ).

Формулировка синтеза. Профили в высшей кинематической паре должны быть выполнены так, чтобы контактная нормаль к ним проходила через полюс относительного вращения звеньев.

Так как положение полюса на линии центров определяет передаточное отношение механизма, то профили удовлетворяющие основной теореме зацепления обеспечивают заданный закон изменения передаточного отношения или являются сопряженными.