ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГеНТство ПО образованиЮ

Date: 2015-10-07; view: 606.

Вариант 29

Вариант 28

Вариант 27

Вариант 26

Вариант 25

Вариант 24

Вариант 23

Вариант 22

Вариант 21

Вариант 20

Вариант 19

Вариант 17

Вариант 16

Вариант 15

Вариант 14

Вариант 13

Вариант 12

Вариант 11

Вариант 10

Вариант 9

Вариант 8

Вариант 7

Вариант 6

Вариант 5

Вариант 4

Вариант 3

Вариант 2

Вариант 1

Вариант 29

Вариант 28

Вариант 27

Вариант 26

Вариант 25

Вариант 24

Вариант 23

Вариант 22

Вариант 21

Вариант 20

Вариант 19

Вариант 17

Вариант 16

Вариант 15

Вариант 14

Вариант 13

Вариант 12

Вариант 11

Вариант 10

Вариант 9

Вариант 8

Вариант 7

Вариант 6

Вариант 5

Вариант 4

Вариант 3

Вариант 2

Вариант 1

Формы текущего контроля в БРС

Линейная алгебра 1315

Редактор: О.М. Барбаков, д.с.н., профессор

Бибиотечно – издательский комплекс

федерального государственного бюджетного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Тюменский государственный нефтегазовый университет»

625000, г. Тюмень, ул. Володарского,38

Типография бибиотечно – издательского комплекса

625039, г. Тюмень, ул. Киевская, 52

1.Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2.Найти кратность корня (―2) для многочлена .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Рассмотрим систему тригонометрических функций: . Тригонометрическим многочленом степени называется линейная комбинация функций тригонометрической системы . Доказать, что множество всех тригонометрических многочленов степени не выше является линейным пространством, а система тригонометрических функций ― базисом пространства. Указать размерность пространства и его нулевой элемент.

5.Матрица линейного оператора в некотором базисе имеет вид Найти матрицу этого оператора в базисе , если

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду. Изобразить на чертеже в старой и новой системах координат.

1.Вычислить и показать результат на комплексной плоскости.

2.Построить многочлен наименьшей степени по его корням: двойной корень 1, простые корни 2, 3, .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Пусть ― произвольный многочлен вещественного аргумента t степени не выше четвертой. Доказать, что оператор является линейным и найти его матрицу в базисе .

5.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

7.Привести квадратичную форму к каноническому виду, указать ее тип и линейное преобразование, приводящее ее к каноническому виду.

1.Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2.Определить и так, чтобы трехчлен делился на .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4.Рассмотрим систему тригонометрических функций: . Тригонометрическим многочленом степени называется линейная комбинация функций тригонометрической системы . Определим скалярное произведение в пространстве тригонометрических многочленов степени по формуле . Доказать, что введенное число обладает всеми свойствами скалярного произведения. Показать, что система тригонометрических функций составляет ортогональный базис пространства многочленов при . Составить ортонормированный базис.

5.Как изменится матрица перехода от базиса к базису , если 1) переставить векторы и ? 2) переставить векторы и ?

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы. Привести матрицу к диагональному виду

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду, указать преобразование координат. Изобразить на чертеже в старой и новой системах координат.

1.Записать в показательной форме числа и показать их на комплексной плоскости.

2.Найти сумму квадратов корней многочлена .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Пусть ― произвольный многочлен вещественного аргумента t степени не выше третьей. Доказать, что оператор является линейным и найти его матрицу в базисе .

5.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6.Привести матрицу к диагональному виду. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

7.Привести квадратичную форму к каноническому виду, указать ее тип и линейное преобразование, приводящее форму к каноническому виду.

1.Преобразовать в алгебраическую форму число и показать его на комплексной плоскости.

2.Построить многочлен наименьшей степени по его корням: тройной корень (―1), простые корни 3 и 4.

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Доказать, что множество всех квадратных матриц второго порядка с операциями сложения и умножения на число, введенными в теории матриц, образует линейное пространство. Найти базис и указать размерность пространства.

5.В базисе пространства многочленов не выше второй степени оператор задан матрицей . Найти матрицу этого оператора в базисе, составленном многочленами , , .

6.Найти вещественные собственные числа и соответствующие собственные векторы матрицы

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду, указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.

1.Вычислить и . Показать число на комплексной плоскости.

2.Доказать, что многочлен не имеет кратных корней.

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Доказать, что оператор транспонирования в пространстве квадратных матриц второго порядка является линейным. Найти его матрицу в базисе .

5.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы . Привести ее к диагональному виду.

7.Привести квадратичную форму к каноническому виду, указать ее тип и линейное преобразование, приводящее ее к каноническому виду.

1.Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2.Уравнение имеет корень . Найти все остальные корни.

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Доказать, что если R ― линейное пространство и х любой элемент R, то 1) при умножении х на число 0 получается нулевой элемент пространства; 2) при умножении х на число (―1) получается противоположный элемент пространства; 3) при умножении любого вещественного числа на ненулевой элемент пространства получается снова нулевой элемент.

5.Матрица линейного оператора задана в базисе . Как изменится матрица, если в базисе поменять местами и ?

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду. Указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.

1.Вычислить и показать результат на комплексной плоскости.

2.Построить многочлен наименьшей степени по его корням: двойной корень и простой корень ( ).

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Пусть ― произвольный вектор арифметического трехмерного пространства. Проверить, будут ли указанные операторы линейными: 1) 2)

5.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6.Найти вещественные собственные числа и соответствующие собственные векторы матрицы

7.Привести квадратичную форму к каноническому виду, указать ее тип и линейное преобразование, приводящее ее к каноническому виду.

1.Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2.Определить и так, чтобы многочлен делился без остатка на .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Рассмотрим множество функций вида , где , и ― произвольные вещественные числа. Доказать, что это множество образует линейное пространство. Указать базис этого пространства, его размерность, нулевой элемент.

5.Линейное преобразование в базисе имеет матрицу Найти матрицу этого же преобразования в базисе

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы Привести матрицу к диагональному виду.

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду. Указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.

1.Преобразовать в алгебраическую форму число и показать его на комплексной плоскости.

2.Решить уравнение , если известно, что один из корней есть сумма двух других.

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Пусть ― произвольный вектор арифметического трехмерного пространства. Проверить, какие из указанных операторов будут линейными: 1) 2) В случае линейности оператора указать его матрицу.

5.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6.Найти вещественные собственные числа и соответствующие собственные векторы матрицы

7.Найти все значения , при которых квадратичная форма является положительно определенной.

1.Вычислить и . Показать число на комплексной плоскости.

2.Построить многочлен наименьшей степени c вещественными коэффициентами, имеющий двойной корень 1 и простые корни 2, 3 и .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4.Рассмотрим множество функций вида , где , и ― произвольные вещественные числа. Введем скалярное произведение двух функций множества по правилу . Доказать, что введенное число удовлетворяет всем требованиям скалярного произведения. Составить ортонормированный базис пространства.

5.В некотором базисе матрица линейного оператора имеет вид Найти матрицу этого оператора в базисе , , , если координаты векторов заданы в базисе .

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду. Указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.

1.Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2.Определить и так, чтобы трехчлен делился на .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4.Пусть ― произвольный вектор, а и ― фиксированные векторы трехмерного евклидова пространства геометрических векторов. Доказать, что оператор является линейным, и найти его матрицу в том же базисе, в котором заданы векторы , и .

5.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы. Привести матрицу к диагональному виду

7.Найти все значения , при которых квадратичная форма является положительно определенной.

1.Вычислить и показать результат на комплексной плоскости.

2.Найти зависимость между , при которой корни уравнения составляют геометрическую прогрессию.

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4.Для каждого из следующих множеств геометрических векторов на плоскости определить, является ли это множество линейным пространством относительно обычных операций сложения векторов и умножения вектора на число. В случае отрицательного ответа указать, какие именно аксиомы линейного пространства не выполнены. Предполагается, что начало каждого вектора находится в начале координат: 1) Векторы, концы которых лежат на данной прямой. 2) Векторы, концы которых лежат в первой четверти системы координат. 3) Векторы, концы которых лежат в первой или третьей четверти. 4) Векторы, концы которых лежат во второй или третьей четверти.

5.Оператор А, действующий в трехмерном арифметическом пространстве, переводит векторы в векторы Найти матрицу оператора в этом же базисе, в котором заданы векторы.

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы Привести матрицу к диагональному виду.

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду. Указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.

1.Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2.Доказать, что делится на при любых .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4.Пусть ― произвольный вектор, а ― фиксированный векторы трехмерного евклидова пространства геометрических векторов. Доказать, что оператор является линейным, и найти его матрицу в том же базисе, в котором заданы векторы и .

5.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы.

7.Привести квадратичную форму к каноническому виду. Указать линейное преобразование, осуществляющее это преобразование и тип формы.

1.Пользуясь показательной формой комплексного числа, найти сумму .

2.Построить многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий тройной корень ( ).

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Доказать, что 1) всякая система векторов, содержащая нуль-вектор, линейно зависима, 2) всякая система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима, 3) всякая система п векторов, содержащая т линейно зависимых векторов ( ), линейно зависима.

5.Линейное преобразование в базисе имеет матрицу Найти его матрицу в базисе .

6.Найти собственные числа и соответствующие собственные векторы матрицы Привести матрицу к диагональному виду.

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду. Указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.

1.Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2.Определить и так, чтобы многочлен делился на .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4.Пусть ― произвольный вектор, а и ― фиксированные векторы трехмерного евклидова пространства геометрических векторов. Доказать, что оператор является линейным, и найти его матрицу в том же базисе, в котором заданы векторы , и .

5.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы. Привести матрицу к диагональному виду

7.Привести квадратичную форму к каноническому виду, указать ее тип и линейное преобразование, приводящее форму к каноническому виду.

1.Вычислить и показать на комплексной плоскости.

2.Уравнение имеет корень . Найти все остальные корни.

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Доказать, что 1) если ― ортогональная система векторов, то для любых чисел система векторов ― также будет ортогональной; 2) если х ортогонален каждому из векторов , то он ортогонален и любой линейной комбинации этих векторов; 3) нулевой элемент пространства ортогонален любому другому элементу того же пространства.

5.Координаты вектора заданы в базисе . Найти координаты того же вектора в базисе , предварительно проверив, что , и образуют базис трехмерного арифметического пространства.

6.Найти вещественные собственные числа матрицы и соответствующие собственные векторы

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду. Указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.

1.Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2.Определить и так, чтобы многочлен делился на .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4.Доказать, что система тригонометрических функций ортогональна на в смысле скалярного произведения . Получить из нее ортонормированную систему функций.

5.Заданы координаты многочлена в базисе . Указать матрицу перехода к новому базису и координаты в этом базисе.

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы. Привести матрицу к диагональному виду

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду, указать преобразование координат. Изобразить на чертеже в старой и новой системах координат.

1.Найти модуль и аргумент числа и изобразить число на комплексной плоскости.

2.Определить и так, чтобы многочлен при делении на давал в остатке 7, а при делении на давал в остатке 5.

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4.Показать, что дифференцирование является линейным преобразованием пространства всех многочленов степени не выше п от одного переменного с вещественными коэффициентами. Найти матрицу этого преобразования в базисе .

5.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы. Привести матрицу к диагональному виду

7.Привести квадратичную форму к каноническому виду, указать ее тип и линейное преобразование, приводящее форму к каноническому виду.

1.Доказать, что .

2.Построить многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий двойной корень и простой корень ( )..

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4.Доказать, что из свойств скалярного произведения вытекают следующие свойства для любых элементов евклидова пространства; 1) 2) 3) 4) .

5.В пространстве многочленов не выше второй степени заданы координаты многочлена в базисе . Построить ортогональный базис того же пространства, указать матрицу перехода от старого базиса к новому базису и координаты в новом базисе, .

6.Найти вещественные собственные числа и соответствующие собственные векторы матрицы.

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду, указать преобразование координат. Изобразить на чертеже в старой и новой системах координат.

1.Вычислить .

2.Определить и так, чтобы многочлен делился без остатка на .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4.Показать, что умножение квадратных матриц второго порядка справа на заданную матрицу является линейным преобразованием пространства всех матриц второго порядка. Найти матрицу этого преобразования в базисе, состоящем из матриц Как выглядит матрица преобразования при умножении на заданную матрицу слева?

5.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы.

7.Привести квадратичную форму к каноническому виду. Указать линейное преобразование, осуществляющее это преобразование и тип формы.

1.Найти все решения уравнения и построить их на комплексной плоскости.

2.Зная, что один из корней уравнения равен , найти остальные корни.

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Доказать, что если координаты векторов х и у указаны в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение выражается через координаты по формуле: . Как выражается скалярное произведение векторов в ортогональном, но не нормированном базисе ?

5.В базисе пространства многочленов не выше второй степени линейный оператор задан матрицей . Найти матрицу этого оператора в базисе полиномов Лежандра: .

6.Найти вещественные собственные числа и соответствующие собственные векторы матрицы

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду, указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.

1.Вычислить . Изобразить результат на комплексной плоскости.

2.Решить уравнение .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4.Доказать, что преобразование трехмерного пространства , где , является линейным преобразованием и найти его матрицы в ортонормированном базисе , в котором даны координаты всех векторов , и в базисе .

5.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы. Привести матрицу к диагональному виду.

7.Привести квадратичную форму к каноническому виду. Указать линейное преобразование, осуществляющее это приведение и тип формы.

1.Найти все решения уравнения .

2.Определить кратность корня для уравнения .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.В пространстве многочленов не выше второй степени задано скалярное произведение по правилу: , где . Найти матрицу оператора дифференцирования в базисе , в базисе , , и в базисе

5.Проверить, что векторы образуют базис трехмерного арифметического пространства. Построить по заданному базису ортогональный и ортонормированный базис того же пространства.

6.Найти вещественные собственные числа и соответствующие собственные векторы матрицы

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду, указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.

1.Вычислить .

2.При каких значениях а и b многочлен делится на ?

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4.Из определения сопряженного оператора вывести следующие свойства: 1) (А*)* А; 2) (А+В)* А*+В*; 3) (αА)* А*; 4) (АВ)* В*А*; 5) Если А ― невырожденный оператор, то (А^-1)* (А*)^-1.

5.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6.Найти вещественные собственные числа и соответствующие собственные векторы матрицы.

7.Привести квадратичную форму к каноническому виду. Указать линейное преобразование, осуществляющее это приведение и тип формы.

1.Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2.Построить многочлен наименьшей степени по его корням: двойной корень 1, простые корни 2, 3, .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Пусть ― произвольный многочлен вещественного аргумента t степени не выше третьей. Доказать, что оператор является линейным и найти его матрицу в базисе .

5.Доказать, что множество всех квадратных матриц второго порядка с операциями сложения и умножения на число, введенными в теории матриц, образует линейное пространство. Найти базис и указать размерность пространства.

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы Привести матрицу к диагональному виду.

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду, указать преобразование координат. Изобразить на чертеже в старой и новой системах координат.

1.Вычислить и показать результат на комплексной плоскости.

2.Определить и так, чтобы многочлен делился без остатка на .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Рассмотрим множество функций вида , где , и ― произвольные вещественные числа. Введем скалярное произведение двух функций множества по правилу . Доказать, что введенное число удовлетворяет всем требованиям скалярного произведения. Построить ортонормированный базис пространства.

5.Пусть ― произвольный вектор, а и ― фиксированные векторы трехмерного евклидова пространства геометрических векторов. Доказать, что оператор является линейным, и найти его матрицу в том же базисе , в котором заданы векторы , и .

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы Привести матрицу к диагональному виду.

7.Привести квадратичную форму к каноническому виду. Указать линейное преобразование, осуществляющее это преобразование и тип формы.

1.Пользуясь показательной формой комплексного числа, найти сумму .

2.Определить и так, чтобы многочлен делился без остатка на .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

5.Пусть ― произвольный многочлен вещественного аргумента t степени не выше третьей. Доказать, что оператор является линейным и найти его матрицу в базисе .

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы Привести матрицу к диагональному виду.

7.Привести квадратичную форму к каноническому виду, указать ее тип и линейное преобразование, приводящее форму к каноническому виду.

1.Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2.Найти кратность корня (―2) для многочлена .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Рассмотрим систему тригонометрических функций: . Тригонометрическим многочленом степени называется линейная комбинация функций тригонометрической системы . Доказать, что множество всех тригонометрических многочленов степени не выше является линейным пространством, а система тригонометрических функций ― базисом пространства. Указать размерность пространства и его нулевой элемент.

5.Матрица линейного оператора в некотором базисе имеет вид Найти матрицу этого оператора в базисе , если

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду. Изобразить на чертеже в старой и новой системах координат.

1.Вычислить и показать результат на комплексной плоскости.

2.Построить многочлен наименьшей степени по его корням: двойной корень 1, простые корни 2, 3, .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Пусть ― произвольный многочлен вещественного аргумента t степени не выше четвертой. Доказать, что оператор является линейным и найти его матрицу в базисе .

5.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

7.Привести квадратичную форму к каноническому виду, указать ее тип и линейное преобразование, приводящее ее к каноническому виду.

1.Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2.Определить и так, чтобы трехчлен делился на .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4.Рассмотрим систему тригонометрических функций: . Тригонометрическим многочленом степени называется линейная комбинация функций тригонометрической системы . Определим скалярное произведение в пространстве тригонометрических многочленов степени по формуле . Доказать, что введенное число обладает всеми свойствами скалярного произведения. Показать, что система тригонометрических функций составляет ортогональный базис пространства многочленов при . Составить ортонормированный базис.

5.Как изменится матрица перехода от базиса к базису , если 1) переставить векторы и ? 2) переставить векторы и ?

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы. Привести матрицу к диагональному виду

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду, указать преобразование координат. Изобразить на чертеже в старой и новой системах координат.

1.Записать в показательной форме числа и показать их на комплексной плоскости.

2.Найти сумму квадратов корней многочлена .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Пусть ― произвольный многочлен вещественного аргумента t степени не выше третьей. Доказать, что оператор является линейным и найти его матрицу в базисе .

5.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6.Привести матрицу к диагональному виду. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

7.Привести квадратичную форму к каноническому виду, указать ее тип и линейное преобразование, приводящее форму к каноническому виду.

1.Преобразовать в алгебраическую форму число и показать его на комплексной плоскости.

2.Построить многочлен наименьшей степени по его корням: тройной корень (―1), простые корни 3 и 4.

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Доказать, что множество всех квадратных матриц второго порядка с операциями сложения и умножения на число, введенными в теории матриц, образует линейное пространство. Найти базис и указать размерность пространства.

5.В базисе пространства многочленов не выше второй степени оператор задан матрицей . Найти матрицу этого оператора в базисе, составленном многочленами , , .

6.Найти вещественные собственные числа и соответствующие собственные векторы матрицы

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду, указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.

1.Вычислить и . Показать число на комплексной плоскости.

2.Доказать, что многочлен не имеет кратных корней.

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Доказать, что оператор транспонирования в пространстве квадратных матриц второго порядка является линейным. Найти его матрицу в базисе .

5.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы . Привести ее к диагональному виду.

7.Привести квадратичную форму к каноническому виду, указать ее тип и линейное преобразование, приводящее ее к каноническому виду.

1.Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2.Уравнение имеет корень . Найти все остальные корни.

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Доказать, что если R ― линейное пространство и х любой элемент R, то 1) при умножении х на число 0 получается нулевой элемент пространства; 2) при умножении х на число (―1) получается противоположный элемент пространства; 3) при умножении любого вещественного числа на ненулевой элемент пространства получается снова нулевой элемент.

5.Матрица линейного оператора задана в базисе . Как изменится матрица, если в базисе поменять местами и ?

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду. Указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.

1.Вычислить и показать результат на комплексной плоскости.

2.Построить многочлен наименьшей степени по его корням: двойной корень и простой корень ( ).

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Пусть ― произвольный вектор арифметического трехмерного пространства. Проверить, будут ли указанные операторы линейными: 1) 2)

5.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6.Найти вещественные собственные числа и соответствующие собственные векторы матрицы

7.Привести квадратичную форму к каноническому виду, указать ее тип и линейное преобразование, приводящее ее к каноническому виду.

1.Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2.Определить и так, чтобы многочлен делился без остатка на .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Рассмотрим множество функций вида , где , и ― произвольные вещественные числа. Доказать, что это множество образует линейное пространство. Указать базис этого пространства, его размерность, нулевой элемент.

5.Линейное преобразование в базисе имеет матрицу Найти матрицу этого же преобразования в базисе

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы Привести матрицу к диагональному виду.

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду. Указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.

1.Преобразовать в алгебраическую форму число и показать его на комплексной плоскости.

2.Решить уравнение , если известно, что один из корней есть сумма двух других.

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Пусть ― произвольный вектор арифметического трехмерного пространства. Проверить, какие из указанных операторов будут линейными: 1) 2) В случае линейности оператора указать его матрицу.

5.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6.Найти вещественные собственные числа и соответствующие собственные векторы матрицы

7.Найти все значения , при которых квадратичная форма является положительно определенной.

1.Вычислить и . Показать число на комплексной плоскости.

2.Построить многочлен наименьшей степени c вещественными коэффициентами, имеющий двойной корень 1 и простые корни 2, 3 и .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4.Рассмотрим множество функций вида , где , и ― произвольные вещественные числа. Введем скалярное произведение двух функций множества по правилу . Доказать, что введенное число удовлетворяет всем требованиям скалярного произведения. Составить ортонормированный базис пространства.

5.В некотором базисе матрица линейного оператора имеет вид Найти матрицу этого оператора в базисе , , , если координаты векторов заданы в базисе .

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду. Указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.

1.Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2.Определить и так, чтобы трехчлен делился на .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4.Пусть ― произвольный вектор, а и ― фиксированные векторы трехмерного евклидова пространства геометрических векторов. Доказать, что оператор является линейным, и найти его матрицу в том же базисе, в котором заданы векторы , и .

5.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы. Привести матрицу к диагональному виду

7.Найти все значения , при которых квадратичная форма является положительно определенной.

1.Вычислить и показать результат на комплексной плоскости.

2.Найти зависимость между , при которой корни уравнения составляют геометрическую прогрессию.

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4.Для каждого из следующих множеств геометрических векторов на плоскости определить, является ли это множество линейным пространством относительно обычных операций сложения векторов и умножения вектора на число. В случае отрицательного ответа указать, какие именно аксиомы линейного пространства не выполнены. Предполагается, что начало каждого вектора находится в начале координат: 1) Векторы, концы которых лежат на данной прямой. 2) Векторы, концы которых лежат в первой четверти системы координат. 3) Векторы, концы которых лежат в первой или третьей четверти. 4) Векторы, концы которых лежат во второй или третьей четверти.

5.Оператор А, действующий в трехмерном арифметическом пространстве, переводит векторы в векторы Найти матрицу оператора в этом же базисе, в котором заданы векторы.

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы Привести матрицу к диагональному виду.

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду. Указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.

1.Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2.Доказать, что делится на при любых .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4.Пусть ― произвольный вектор, а ― фиксированный векторы трехмерного евклидова пространства геометрических векторов. Доказать, что оператор является линейным, и найти его матрицу в том же базисе, в котором заданы векторы и .

5.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы.

7.Привести квадратичную форму к каноническому виду. Указать линейное преобразование, осуществляющее это преобразование и тип формы.

1.Пользуясь показательной формой комплексного числа, найти сумму .

2.Построить многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий тройной корень ( ).

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Доказать, что 1) всякая система векторов, содержащая нуль-вектор, линейно зависима, 2) всякая система векторов, содержащая два равных вектора, линейно зависима, 3) всякая система п векторов, содержащая т линейно зависимых векторов ( ), линейно зависима.

5.Линейное преобразование в базисе имеет матрицу Найти его матрицу в базисе .

6.Найти собственные числа и соответствующие собственные векторы матрицы Привести матрицу к диагональному виду.

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду. Указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.

1.Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2.Определить и так, чтобы многочлен делился на .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4.Пусть ― произвольный вектор, а и ― фиксированные векторы трехмерного евклидова пространства геометрических векторов. Доказать, что оператор является линейным, и найти его матрицу в том же базисе, в котором заданы векторы , и .

5.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы. Привести матрицу к диагональному виду

7.Привести квадратичную форму к каноническому виду, указать ее тип и линейное преобразование, приводящее форму к каноническому виду.

1.Вычислить и показать на комплексной плоскости.

2.Уравнение имеет корень . Найти все остальные корни.

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Доказать, что 1) если ― ортогональная система векторов, то для любых чисел система векторов ― также будет ортогональной; 2) если х ортогонален каждому из векторов , то он ортогонален и любой линейной комбинации этих векторов; 3) нулевой элемент пространства ортогонален любому другому элементу того же пространства.

5.Координаты вектора заданы в базисе . Найти координаты того же вектора в базисе , предварительно проверив, что , и образуют базис трехмерного арифметического пространства.

6.Найти вещественные собственные числа матрицы и соответствующие собственные векторы

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду. Указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.

1.Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2.Определить и так, чтобы многочлен делился на .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4.Доказать, что система тригонометрических функций ортогональна на в смысле скалярного произведения . Получить из нее ортонормированную систему функций.

5.Заданы координаты многочлена в базисе . Указать матрицу перехода к новому базису и координаты в этом базисе.

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы. Привести матрицу к диагональному виду

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду, указать преобразование координат. Изобразить на чертеже в старой и новой системах координат.

1.Найти модуль и аргумент числа и изобразить число на комплексной плоскости.

2.Определить и так, чтобы многочлен при делении на давал в остатке 7, а при делении на давал в остатке 5.

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4.Показать, что дифференцирование является линейным преобразованием пространства всех многочленов степени не выше п от одного переменного с вещественными коэффициентами. Найти матрицу этого преобразования в базисе .

5.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы. Привести матрицу к диагональному виду

7.Привести квадратичную форму к каноническому виду, указать ее тип и линейное преобразование, приводящее форму к каноническому виду.

1.Доказать, что .

2.Построить многочлен наименьшей степени с вещественными коэффициентами, имеющий двойной корень и простой корень ( )..

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4.Доказать, что из свойств скалярного произведения вытекают следующие свойства для любых элементов евклидова пространства; 1) 2) 3) 4) .

5.В пространстве многочленов не выше второй степени заданы координаты многочлена в базисе . Построить ортогональный базис того же пространства, указать матрицу перехода от старого базиса к новому базису и координаты в новом базисе, .

6.Найти вещественные собственные числа и соответствующие собственные векторы матрицы.

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду, указать преобразование координат. Изобразить на чертеже в старой и новой системах координат.

1.Вычислить .

2.Определить и так, чтобы многочлен делился без остатка на .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4.Показать, что умножение квадратных матриц второго порядка справа на заданную матрицу является линейным преобразованием пространства всех матриц второго порядка. Найти матрицу этого преобразования в базисе, состоящем из матриц Как выглядит матрица преобразования при умножении на заданную матрицу слева?

5.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы.

7.Привести квадратичную форму к каноническому виду. Указать линейное преобразование, осуществляющее это преобразование и тип формы.

1.Найти все решения уравнения и построить их на комплексной плоскости.

2.Зная, что один из корней уравнения равен , найти остальные корни.

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Доказать, что если координаты векторов х и у указаны в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение выражается через координаты по формуле: . Как выражается скалярное произведение векторов в ортогональном, но не нормированном базисе ?

5.В базисе пространства многочленов не выше второй степени линейный оператор задан матрицей . Найти матрицу этого оператора в базисе полиномов Лежандра: .

6.Найти вещественные собственные числа и соответствующие собственные векторы матрицы

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду, указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.

1.Вычислить . Изобразить результат на комплексной плоскости.

2.Решить уравнение .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4.Доказать, что преобразование трехмерного пространства , где , является линейным преобразованием и найти его матрицы в ортонормированном базисе , в котором даны координаты всех векторов , и в базисе .

5.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы. Привести матрицу к диагональному виду.

7.Привести квадратичную форму к каноническому виду. Указать линейное преобразование, осуществляющее это приведение и тип формы.

1.Найти все решения уравнения .

2.Определить кратность корня для уравнения .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.В пространстве многочленов не выше второй степени задано скалярное произведение по правилу: , где . Найти матрицу оператора дифференцирования в базисе , в базисе , , и в базисе

5.Проверить, что векторы образуют базис трехмерного арифметического пространства. Построить по заданному базису ортогональный и ортонормированный базис того же пространства.

6.Найти вещественные собственные числа и соответствующие собственные векторы матрицы

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду, указать преобразование координат и изобразить на чертеже относительно старых и новых осей координат.

1.Вычислить .

2.При каких значениях а и b многочлен делится на ?

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы через фундаментальную систему решений

4.Из определения сопряженного оператора вывести следующие свойства: 1) (А*)* А; 2) (А+В)* А*+В*; 3) (αА)* А*; 4) (АВ)* В*А*; 5) Если А ― невырожденный оператор, то (А^-1)* (А*)^-1.

5.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

6.Найти вещественные собственные числа и соответствующие собственные векторы матрицы.

7.Привести квадратичную форму к каноническому виду. Указать линейное преобразование, осуществляющее это приведение и тип формы.

1.Найти все значения и показать их на комплексной плоскости.

2.Построить многочлен наименьшей степени по его корням: двойной корень 1, простые корни 2, 3, .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Пусть ― произвольный многочлен вещественного аргумента t степени не выше третьей. Доказать, что оператор является линейным и найти его матрицу в базисе .

5.Доказать, что множество всех квадратных матриц второго порядка с операциями сложения и умножения на число, введенными в теории матриц, образует линейное пространство. Найти базис и указать размерность пространства.

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы Привести матрицу к диагональному виду.

7.Привести уравнение кривой к каноническому виду, указать преобразование координат. Изобразить на чертеже в старой и новой системах координат.

1.Вычислить и показать результат на комплексной плоскости.

2.Определить и так, чтобы многочлен делился без остатка на .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Рассмотрим множество функций вида , где , и ― произвольные вещественные числа. Введем скалярное произведение двух функций множества по правилу . Доказать, что введенное число удовлетворяет всем требованиям скалярного произведения. Построить ортонормированный базис пространства.

5.Пусть ― произвольный вектор, а и ― фиксированные векторы трехмерного евклидова пространства геометрических векторов. Доказать, что оператор является линейным, и найти его матрицу в том же базисе , в котором заданы векторы , и .

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы Привести матрицу к диагональному виду.

7.Привести квадратичную форму к каноническому виду. Указать линейное преобразование, осуществляющее это преобразование и тип формы.

1.Пользуясь показательной формой комплексного числа, найти сумму .

2.Определить и так, чтобы многочлен делился без остатка на .

3.Найти фундаментальную систему решений и записать общее решение системы

4.Исследовать линейную зависимость системы векторов Найти какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все остальные векторы системы.

5.Пусть ― произвольный многочлен вещественного аргумента t степени не выше третьей. Доказать, что оператор является линейным и найти его матрицу в базисе .

6.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы Привести матрицу к диагональному виду.

7.Привести квадратичную форму к каноническому виду, указать ее тип и линейное преобразование, приводящее форму к каноническому виду.

¾¾¾¾¾¾¾¾