Научный редактор профессор В.И. РЯЖСКИХ

Date: 2015-10-07; view: 418.

Рецензент профессор ВГАУ А.В. УЛЕЗЬКО

Печатается по решению

редакционно-издательского совета

Воронежской государственной технологической академии

ã Кульнев С.С.,

Богер А.А,

Соболева Е.А., 2005

ã Воронежская

государственная

технологическая

академия, 2005

Оригинал‑макет данного издания является собственностью Воронежской государственной технологической академии, его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия академии запрещается.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И ПРИМЕРЫ

РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ РАСЧЕТНО-ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Задание 1. Вычислить определитель четвертого порядка.

Для вычисления определителя четвертого порядка можно воспользоваться формулой:

.

Определители третьего порядка, стоящие в правой части этого равенства называются минорами и обозначаются , а выражение - алгебраическими дополнениями (индексы i, j соответствуют индексам элементов первой строки)

Пример. Вычислить определитель .

Решение. Воспользуемся выше приведенной формулой. = =

= -

- +

+ -

- =

= .

Задание 2. Произвести действия над матрицами.

Чтобы успешно выполнить эту работу необходимо знать, как матрицы складываются, вычитаются, умножаются друг на друга и на число. Определения этих операций приведем на примере матриц с тремя строками и тремя столбцами.

Суммой матриц и , где , называется матрица . Обозначается сумма как обычно: .

Аналогично определяется вычитание матриц.

Произведением матриц А и В называется матрица

, где или подробнее (индексы i,j принимают значения 1,2,3). Обозначение:

Замечание: Выражение обозначает умножение

Произведением числа на матрицу называется матрица . Обозначается такое произведение .

Пример. Найти матрицу D = , если

, , .

Решение. Сначала находим произведение

=

= =

= .

После этого находим произведение .

Теперь получаем искомую матрицу D.

D= + = .

Задание 3. Найти обратную матрицу к матрице .

Для того, чтобы выполнить это задание, надо сначала вычислить детерминант этой матрицы . Если он отличен от нуля, то обратная матрица существует.

Теперь находим матрицу В, составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы А

и транспонируем ее (то есть меняем строки и столбцы местами): .

Обратная матрица находится по формуле .

Пример. Дана матрица . Найти обратную матрицу .

Решение. Вычисляем .

Находим алгебраические дополнения: , , , , , , , , .

Составим матрицу В, состоящую из найденных алгебраических дополнений:

, тогда , и .

Задание 4. Решить систему линейных уравнений

а). с помощью правила Крамера,

б). средствами матричного исчисления.

а). Для того, чтобы решить систему уравнений с помощью правила Крамера, надо вычислить четыре определителя: , ,

, .

Если определитель , то решение системы ищем по формулам .

б) Чтобы решить систему уравнений средствами матричного исчисления, надо сначала найти обратную матрицу к матрице , а затем, умножив ее на матрицу , находим искомую матрицу , то есть .

Пример. Решить систему уравнений ,

а). Вычислим определители , , , . Так как , то ,

, .

б). Составим матрицу и матрицу . Обратной к матрице А будет матрица (смотрите пример задания 3). Матрица . Таким образом, .

ЗАДАНИЯ

ДЛЯ РАСЧЕТНО-ПРАКТИЧЕСКОЙРАБОТЫ

Задание 1. Вычислить определитель.

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) ,

7) , 8) , 9) ,

10) , 11) , 12) ,

13) , 14) , 15) ,

16) , 17) , 18) ,

19) , 20) , 21) ,

22) , 23) , 24) ,

25) , 26) , 27) ,

28) , 29) , 30) .

Задание 2. Произвести действия над матрицами.

1) , где

, , .

2) , где

, .

3) , где

, , .

4) , где

, , .

5) , где

, , .

6) , где

, .

7) , где

, , .

8) , где

, , .

9) , где

, , .

10) , где

, , .

11) , где

, .

12) , где

, .

13) , где

, , .

14) , где

, .

15) , где

, , .

16) , где

, , .

17) , где

, .

18) , где

, , .

19) , где

, , .

20) , где

, , .

21) , где

, .

22) , где

, , .

23) , где

, , .

24) , где

, , .

25) , где

, , .

26) , где

, .

27) , где

, .

28) , где

, , .

29) , где

, .

30) , где

, , .

Задание 3. Найти обратную матрицу .

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) , 8) ,

9) , 10) ,

11) , 12) ,

13) , 14) ,

15) , 16) ,

17) , 18) ,

19) , 20) ,

21) , 22) ,

23) , 24) ,

25) , 26) ,

27) , 28) ,

29) , 30) .

Задание 4. Решить систему линейных уравнений

а) с помощью правила Крамера,

б) средствами матричного исчисления.

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) , 8) ,

9) , 10) ,

11) , 12) ,

13) , 14) ,

15) , 16) ,

17) , 18) ,

19) , 20) ,

21) , 22) ,

23) , 24) ,

25) , 26) ,

27) , 28) ,

29) , 30) .