Определение 1.10.

Пусть задана матрица A размером 4х4:

,тогда , .

Заметим, что , если - четное число,

, если - нечетное.

Теорема 1.1(разложения).

Определитель матрицы порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения

. (1.4)

– разложение по -й строке.

Свойства определителей

. Значение определителя не меняется при транспонировании матрицы (замен всех его строк соответствующими столбцами).

Замечание. Свойство устанавливает равноправность строк и столбцов определителя.

Поэтому все дальнейшие свойства определителя будем формулировать и для строк, и для столбцов, а доказывать только для строк или только для столбцов.

. При перестановке двух строк значение определителя меняет знак, сохраняясь по абсолютной величине.

. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

. Общий множитель всех элементов какой-либо строки можно вынести за знак определителя (т.е. при умножении определителя на число, все элементы какой-либо одной строки умножаются на это число).

. Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

. Определитель, имеющий нулевую строку (столбец), равен нулю.

. Если два определителя одного порядка отличаются только элементами одной строки, то сумма таких определителей равна определителю с элементами указанной строки, равными суммам соответствующих элементов этой строки данных определителей.

. Значение определителя не изменяется, если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.