КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ДАННОМ БАЗИСЕ.
Date: 2015-10-07; view: 378.
Рассматривая понятия базисов подпространства, пространства R n, системы векторов, заметим, что во всех случаях базис обладает свойством линейной независимости и способностью представлять в виде линейных комбинаций своих векторов векторы подпространства, пространства R n, системы векторов соответственно. Докажем единственность такого представления.
ТЕОРЕМА.
Любой вектор`x (подпространства, пространства R n, системы векторов) представляется в виде линейной комбинации базисных векторов единственным образом.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть`a 1,`a 2 , ¼ ,`a k — данный базис. Предположим, что существуют два различных представления вектора`x в виде линейной комбинации базисных векторов:
`x = l 1`a 1 + l 2`a 2 + ¼ + l k`a k и`x = m 1`a 1 + m 2`a 2 + ¼ + m k`a k .
Поскольку`x –`x =`0, то
l 1`a 1 + l 2`a 2 + ¼ + l k`a k – ( m 1`a 1 + m 2`a 2 + ¼ + m k`a k ) =`0,
(l 1 – m 1) `a 1 + (l 2 – m 2 )`a 2 + … + (l k – m k )`a k =`0, откуда, в силу линейной независимости базисных векторов следует, что
l 1 – m 1 = 0, l 2 – m 2 = 0, …, l k – m k = 0 и, следовательно,
l 1 = m 1, l 2 = m 2, … , l k = m k. Таким образом, рассмотренные разложения вектора`x по базису совпадают. Теорема доказана.
Справедливость доказанного утверждения позволяет дать следующее определение.
Координатами вектора`x в данном базисе называются коэффициенты в разложении вектора`x по данному базису.
Заметим, что координаты вектора`x в данном базисе определяются однознач- но, но в разных базисах один и тот же вектор`x имеет разные координаты.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| БАЗИС И РАНГ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. | | | ЖОРДАНОВЫ ТАБЛИЦЫ И ИХ ТРАКТОВКА. |