МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ.

Date: 2015-10-07; view: 450.

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Произвольная система вещественных чисел, записанная в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов, называется матрицей размерности

m ´ n и обозначается = (a _{i j} ) = A.

Числа a _{i j} называются элементами матрицы А. Первый индекс i означает номер строки, второй индекс j — номер столбца, в которых стоит элемент a _{i j} .

Если число строк матрицы A равно числу ее столбцов n, то А называется квадратной матрицей порядка n.

Матрица, имеющая только одну строку, называется вектор – строкой.

Матрица, имеющая только один столбец, называется вектор – столбцом.

Матрицы A = (a _{i j} ) и B = (b _{i j} ) называются равными, если они имеют одинаковую размерность и их элементы a _{i j} и b _{i j} , стоящие на одинаковых местах, равны между собой.

СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ И УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО.

Если матрицы A и B имеют одинаковую размерность, то их суммой A + B называется матрица C, элементы которой c _{i j} равны суммам соответствующих элементов матриц A и B: c _{i j} = a _{i j} + b _{i j} .

Произведением матрицы A на число a называется матрица aA, полученная из матрицы A умножением всех ее элементов на число a.

Например, + = ;

2 · = .

Для произвольной матрицы A матрица (– 1) · A обозначается – A.

Сумма матриц A и – B обозначается A – B.

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ.

Произведение A B матриц A и B определено, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. В частности, если A и B — квадратные матрицы одного порядка, то произведения A B и B A определены.

Произведением матриц A = (a _{i j} ) и B = (b _{i j} ) называется матрица C = (c _{i j} ), обозначаемая символом С = А В, каждый элемент c _{i j} которой равен сумме произведений элементов i – й строки матрицы А на соответствующие элементы j – го столбца матрицы В, то есть

c _{i j} = a _{i 1} b _{1 j} + a _{i 2} b _{2 j} + … + a _{i n} b _{n j} ( i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , n).

Иными словами, если матрицу A представить как матрицу, строками которой являются векторы`a <sub>1</sub>,`a ₂ , ¼ ,`a <sub>m</sub> , а матрицу B — как матрицу, столбцами которой являются векторы`b ₁,`b <sub>2</sub> , … ,`b _n , то элемент c _{i j} матрицы С равен скалярному произведению`a <sub>i</sub>`b _j векторов`a <sub>i</sub> и`b _j.

ПРИМЕРЫ.

· = = ;

· = =

= .

Свойства умножения матриц.

1) a (A B) = (a A) B = A (a B);

2) (А В) С = А (В С);

3) (А + В) С = А С + В С; C (A + B) = C A + C B.

Умножение двух матриц в общем случае не обладает свойством коммутативности, то есть А В ¹ В А (см. рассмотренные примеры).

ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ.

Матрица A^T, строки которой являются столбцами матрицы A с теми же порядковыми номерами, называется транспонированной к матрице A.

Если A = (a _{i j} ) и A^T = (a^T_{i j} ), то a ^T_{i j} = a _{j i} .

Пример. = .

Свойства транспонирования.

1) (a A)^T = a A^T

2) (A + B)^T = A^T + B^T

3) (AB)^T = B^T A^T