Кривые и поверхности второго порядка.

Date: 2015-10-07; view: 509.

Поверхностью второго порядка называют совокупность точек пространства, координаты которых x, y, z удовлетворяют уравнению

Коэффициенты могут принимать любые действительные значения и удовлетворяют условию .

Для определения вида поверхности второго порядка необходимо ее уравнение привести к виду, не содержащему произведений координат. Этого можно достичь соответствующим выбором системы координат.

называют квадратичной формой. Матрицу

,

где , называют матрицей квадратичной формы. Вектор , удовлетворяющий условию называют собственным вектором матрицы А, - собственным значением.

Каждая матрица квадратичной формы имеет три взаимно ортогональных собственных вектора. Если единичные векторы собственных векторов матрицы А принять за единичные векторы новой системы координат, то в выражении квадратичной формы коэффициенты при произведениях обратятся в ноль и форма примет вид:

.

Присоединяя к ней линейную часть общего уравнения поверхности второго порядка и выделяя полные квадраты, получим каноническое уравнение поверхности второго порядка.

Преобразование уравнения линии второго порядка проводят аналогично. Рассмотрим пример.

Пример 24. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и сделать чертёж:

17x² +8y² +12xy +10x – 8y + 5 = 0.

Решение.

Составим матрицу квадратичной формы:

.

Найдем собственные векторы линейного преобразования из условия:

.

Полученная система однородная. Она имеет ненулевые решения, если определитель системы равен нулю:

,

Отсюда находим: .

Найдём собственные векторы.

При получим систему уравнений:

Полагая , найдём .

Получим первый собственный вектор .

При получим систему уравнений:

Откуда , .

Получим второй собственный вектор .

Найдём орты собственных векторов.

,

Запишем матрицу преобразования:

Формулы линейного преобразования примут вид:

или .

Подставим значения и в уравнение кривой:

или

Выделяя полные квадраты, получим:

.

Введём новые координаты:

Совершив параллельный перенос осей координат и разделив на 5 обе части уравнения, получим каноническое уравнение:

Это уравнение описывает эллипс, полуоси которого .

Построим эллипс по полученному уравнению.