Тема 4. Линейное n – мерное векторное пространство. Линейная зависимость и независимость векторов. Ранг матрицы и системы векторов

Date: 2015-10-07; view: 657.

Множество n-мерных векторов, в котором введены операции сложения и умножения на число, называется

—векторным пространством

—числовым пространством

—n×n-мерным векторным пространством

+—n-мерным векторным пространством (R⁽ⁿ⁾)

Упорядоченная система из n действительных чисел называется

+—n-мерным вектором

—n-мерным скаляром

—n-мерной последовательностью

—n-мерной матрицей

Коэффициенты при неизвестных всякого линейного уравнения с n неизвестными образуют

+—n-мерный вектор

—n-мерный скаляр

—n-мерную последовательность

—n-мерное пространство

Суммой векторов и называется вектор

—

—

+—

—

Произведением вектора на число k называется вектор

—

+—

—

—

Скалярным произведением двух векторов и называется действительное число, равное

—

—

+—

—

Длиной вектора или его модулем называется действительное неотрицательное число, равное

—

+—

—

—

Вектор называется линейной комбинацией векторов , если существуют такие числа, , при которых выполняется соотношение

+—

—

—

—

Система векторов (k 2) называется линейно зависимой, если

—ни один из векторов системы не является линейной комбинацией остальных

+—хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией остальных

—все вектора системы не нулевые

—сумма векторов системы не равна нулю

Система векторов (k 2) является линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю, при которых имеет место равенство

—

+—

—

—

Если соотношение возможно лишь в случае, когда , то система векторов называется

—линейно зависимой

—нелинейно зависимой

+—линейно независимой

—вырожденной

Если некоторая подсистема (r £ k) системы векторов линейно зависима, то вся система

—линейно независима

+—линейно зависима

—образует базис

—нелинейно независима

Всякая система векторов, содержащая два равных вектора, является

—линейно независимой

—нелинейно независимой

—нелинейно зависимой

+—линейно зависимой

Если система векторов линейно независима, то всякая ее подсистема

—линейно зависима

+—линейно независима

—нелинейно зависима

—нелинейно независима

Всякая система векторов, содержащая два пропорциональных вектора, является

+—линейно зависимой

—нелинейно зависимой

—нелинейно независимой

—линейно независимой

Если – линейно зависимая система векторов, а (r£n) –

такая ее линейно независимая подсистема векторов, к которой нельзя присоединить ни одного вектора системы, не нарушив линейной независимости, то эта подсистема называется

—минимальной линейно независимой

+—максимальной линейно независимой

—минимальной линейно зависимой

—максимальной линейно зависимой

Всякая система векторов, содержащая нулевой вектор является

—линейно независимой

—нелинейно зависимой

—нелинейно независимой

+—линейно зависимой

Число векторов, входящих в любую максимальную линейно независимую подсистему векторов, называется

—порядком системы

—размером системы

+—рангом системы

—числом системы

Максимальное число линейно независимых векторов системы равно рангу матрицы , составленной

+—из компонент векторов этой системы

—из квадратов компонент этой системы

—из кубов компонент этой системы

—из квадратных корней компонент этой системы

Рангом системы векторов называется число векторов, входящих в любую

—максимальную линейно зависимую подсистему

+—максимальную линейно независимую подсистему

—минимальную линейно зависимую подсистему

—минимальную линейно независимую подсистему

Максимальное число линейно независимых строк матрицы равно

—минимальному числу линейно независимых столбцов матрицы

—минимальному числу линейно зависимых столбцов матрицы

—максимальному числу линейно зависимых столбцов матрицы

+—максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы

Любая совокупность n+1 векторов n–мерного векторного пространства

+—линейно зависима

—линейно независима

—образует базис

—нелинейно независима

Максимальное число линейно независимых строк матрицы

—равно размерности этой матрицы

+—рангу этой матрицы

—числу строк этой матрицы

—числу столбцов этой матрицы

Базисом n–мерного векторного пространства называется любая совокупность

—n+1 линейно независимых векторов этого же пространства

—n-1 линейно независимых векторов этого же пространства

—n(n-1) линейно независимых векторов этого же пространства

+—n линейно независимых векторов этого же пространства

Любой вектор n–мерного векторного пространства можно представить как

—нелинейную комбинацию векторов базиса

+—линейную комбинацию векторов базиса

—сумму векторов базиса

—произведение векторов базиса

Система называется системой

—нулевых векторов n–мерного векторного пространства

—зависимых векторов n –мерного векторного пространства

+—единичных векторов n–мерного векторного пространства

—независимых векторов (n+1)–мерного векторного пространства

называется

—высотой вектора

—шириной вектора

—размером вектора

+—длиной вектора

Числа , определяющие вектор , называются

—числами вектора

+—компонентами вектора

—номерами вектора

—неизвестными вектора

Любой вектор n–мерного пространства можно представить как линейную комбинацию векторов базиса

—множеством способов

—n способами

—n-1 способами

+—единственным образом

Рангом матрицы A называется число r такое, что у матрицы существует

+—хотя бы один отличный от нуля минор r–го порядка и равны нулю все миноры более высокого порядка(³r+1)

—хотя бы один отличный от нуля минор r+1–го порядка и равны нулю все миноры более высокого порядка

—не более одного отличного от нуля минора r–го порядка и равны нулю все миноры более высокого порядка

—не более одного отличного от нуля минора r+1–го порядка и равны нулю все миноры более высокого порядка

Если r-ранг матрицы А, то отличный от нуля минор r–го порядка называется

—основным минором матрицы

—минимальным минором матрицы

+—базисным минором матрицы

—ненулевым минором матрицы

Какое число линейно независимых векторов системы равен рангу матрицы А, составленной из компонент векторов этой системы?

—минимальное

—бесконечное

—равно n

+—максимальное

Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы

—равно размерности этой матрицы

—числу строк этой матрицы

—числу столбцов этой матрицы

+—рангу этой матрицы

Система векторов называется линейно независимой, если соотношение справедливо лишь в случае, когда

—

—

—

+—

Число векторов, входящих в любую максимальную линейно независимую подсистем векторов, называется

—порядком системы

—размерностью системы

—числом системы

+—рангом системы

Указать совокупность векторов n – мерного векторного пространства, которая заведомо является линейно зависимой

—совокупность n-2 векторов

—совокупность n-1 векторов

—совокупность n векторов

+—совокупность n+1 векторов

Для линейной независимости системы из n n – мерных векторов необходимо и достаточно, чтобы определитель, составленный из компонент векторов этой системы

—равнялся 0

+—был отличен от 0

—существовал

—не существовал

Система из пяти 4 – х мерных векторов

—не существует

—линейно независима

+—линейно зависима

—образует базис

Если , , то произведение равно

—(8;-3)

—(6;-2)

—11

+—5

Система векторов , ,

+—образует базис

—не образует базиса

—линейно зависима

—вырождена

Компоненты вектора в базисе , , где , , равны

—(1:-1)

—(2;2)

+—(3;-1)

—(3;5)

Векторы и равны между собой, если

—

+—

—

—

Векторы образуют

+—линейно зависимую систему

—линейно независимую систему

—базис

—единичный базис

Система векторов

—образует единичный базис

+—образует базис

—линейно зависима

—содержит нулевой вектор

Базисом - мерного пространства является

—только группа из единичных векторов

—любая группа из -1 линейно независимых векторов

+—любая группа из линейно независимых векторов

—группа из векторов, содержащая единичный вектор

Ранг матрицы равен числу ее

—ненулевых строк

—единичных строк

—линейно зависимых строк

+—линейно независимых строк

Рангом системы векторов называется число

—ее ненулевых векторов

—ее единичных векторов

+—векторов в ее любом базисе

—ее базисов

Ранг матрицы не изменится, если

+—поменять местами два ее столбца

—поменять местами два ее числа

—заменить нулями одну строку

—заменить нулями один столбец

Если все миноры - го порядка матрицы равны 0, то все ее миноры порядка

—не равны 0

—положительны

—отрицательны

+—равны 0

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных этих уравнений

—невырождена

+—имеет ранг, равный рангу расширенной матрицы

—ненулевая

—имеет ранг, меньший числа уравнений

Прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на некоторое число

—увеличивает на 1 ранг матрицы

—уменьшает на 1 ранг матрицы

+—не меняет ранга матрицы

—изменяет ранг матрицы

Умножение строки матрицы на некоторое число

—уменьшает ранг матрицы в раз

—увеличивает ранг матрицы в раз

+—не меняет ранга матрицы

—уменьшает ранг матрицы на 1