Гипербола

Date: 2015-10-07; view: 516.

Эллипс

Окружность

Окружностьюназывается геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от одной и той же точки, называемой её центром.

Каноническое уравнение окружности с центром в точке С(а; b) радиуса R имеет вид (рис. 8):

(х – a)² + (у –b)² = R².

Если центр окружности совпадает с началом координат, т.е. а = 0; b = 0, то уравнение окружности имеет вид: x² + у² = R².

Рис. 8

Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и равна 2а.

Необходимо, чтобы эта постоянная величина была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса обозначаются F₁ и F₂.

Каноническое (простейшее) уравнение эллипса имеет вид:

.

Эллипс, заданный каноническим уравнением, симметричен относительно осей координат, центр его симметрии находится в начале координат (рис. 9). Параметр а называют большой полуосью, параметр b – малой полуосью эллипса.

Пусть а > b, тогда фокусы F₁ и F₂ находятся на оси Оx на расстоянии от центра и имеют координаты F₁(– c; 0) и F₂ (c; 0).

Отношение = e < 1 называется эксцентриситетом эллипса.

Расстояния произвольной точки М(x; y) эллипса от его фокусов (фокальные радиус-векторы) определяются формулами:

r₁ = a + ex; r₂ = a – ex.

Прямые и называются директрисами эллипса. Каждая директриса обладает следующим свойством: если r – расстояние произвольной точки эллипса до некоторого фокуса, d – расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса e.

Рис. 9

Если b > а, то фокусы находятся на оси Оy в точках F₁(0; – c) и F₂ (0; c); расстояния от начала координат до фокусов ; эксцентриситет e = ; фокальные радиус-векторы определяются соотношениями: r₁ = b + ey, r₂ = b – ey; уравнения директрис у = – и у = .

Гиперболойназывается геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Каноническое (простейшее) уравнение гиперболы имеет вид:

.

Гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична относительно осей координат, центр её симметрии находится в начале координат (рис. 10). Параметр а называют действительной полуосью, параметр b – мнимой полуосью гиперболы. Гипербола пересекает ось Ох в двух точках. Эти точки называются вершинами гиперболы.

Фокусы F₁ и F₂ находятся на оси Оx на расстоянии от центра и имеют координаты F₁(– c; 0) и F₂ (c; 0).

Отношение = e > 1 называется эксцентриситетом гиперболы.

Прямоугольник со сторонами 2а и 2b, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называют основным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника гиперболы совпадают с её асимптотами.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями: .

Расстояния произвольной точки М(x; y) гиперболы от его фокусов F₁М и F₂М (фокальные радиус-векторы r₁ и r₂) определяются формулами:

для точек правой ветви гиперболы

r₁ = eх + а, r₂ = eх – а;

для точек левой ветви гиперболы

r₁ = – (eх + а); r₂ = – (eх – а).

Прямые х = – и х = называются директрисами гиперболы. Каждая директриса обладает следующим свойством: если r – расстояние произвольной точки гиперболы до некоторого фокуса, d – расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы e.

Каноническое уравнение определяет гиперболу, симметричную относительно осей координат с фокусами F₁ и F₂ на оси Оу. Фокусы находятся на расстоянии от центра и имеют координаты F₁(0; – с) и F₂(0; с). Эксцентриситет гиперболы определяется соотношением e = ; директрисы имеют уравнения у = – и у = .

Гиперболы и называются сопряженными.

Гипербола с равными полуосями (а = b) называется равносторонней.

Рис. 10