Смешанное произведение векторов

Date: 2015-10-07; view: 478.

Смешанным произведениемтрех векторов , , называется число, равное векторному произведению , умноженному скалярно на : .

Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах , , , взятому со знаком плюс, если тройка векторов правая, и со знаком минус, если эта тройка левая (рис. 19).

Рис. 19

Если векторы , , заданы своими координатами, , , , то смешанное произведение трех векторов , , равно определителю третьего порядка, составленному из координат этих векторов:

.

Векторы , , компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю: = 0.

Объем параллелепипеда V, построенного на трех некомпланарных векторах , , , определяется по формуле:

V = .

Объем тетраэдра, построенного на трех некомпланарных векторах , , , определяется по формуле:

V_т = = .

Пример 6. Даны вершины тетраэдра: А (2; 3; 1), В (4; 1; –2), С (6; 3; 7), D (–5; –4; 8). Необходимо найти:

1) площадь грани АВС;

2) объем тетраэдра АВСD;

3) длину высоты, опущенной на грань АВС;

4) внутренний угол А треугольника АВС.

Решение.

1. Если даны точки М₁(x₁; y₁; z₁) и М₂(x₂; y₂; z₂), то вектор выражается следующим образом через орты , , :

= (x₂ – x₁) + (у₂ – у₁) + (z₂ – z₁) .

Найдем векторы АВ, АС и АD в системе орт:

= (4 – 2) + (1 – 3) + (–2 – 1) = 2 – 2 – 3 ;

= (6 – 2) + (3 – 3) + (7 – 1) = 4 + 6 ;

= (–5 – 2) + (–4 – 3) + (8 – 1) = –7 – 7 + 7 .

Площадь грани АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Площадь параллелограмма, в свою очередь, численно равна модулю векторного произведения векторов и .

Найдем векторное произведение векторов и :

= (–2∙6 – 0∙(–3)) – (2∙6 – 4∙(–3)) + (2∙0 – 4∙(–2)) =

= –12 – 24 + 8 .

Найдем модуль векторного произведения

= .

Тогда S_АВС = = ∙ 28 = 14.

2. Объем тетраэдра равен объема параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах , , . Найдем объем параллелепипеда как модуль смешанного произведения векторов , , :

= = 308.

Тогда объем тетраэдра V_АВСD = ∙ = ∙ 308 = .

3. Из курса элементарной геометрии известно, что объем тетраэдра V равен произведения площади основания S_D на высоту H:

.

Выразим высоту Н из последнего уравнения: .

Подставляя в эту формулу и S_D = S_АВС = 14, получим:

.

4. Косинус угла j, образованного векторами и , равен их скалярному произведению, делённому на произведение их модулей:

cosj =

Найдем модули (длины) векторов и :

| | = ;

| | = .

Тогда cos А = cosj = .

А » 109,65°.

3.5. Вопросы для самоконтроля