Пример 1.3.2.

Date: 2015-10-07; view: 415.

= = .

Матрицей, транспонированной к матрице А, называется матрица А^Т, строки которой совпадают с соответствующими столбцами матрицы А.

Для квадратных матриц любого порядка n существует единичная матрица Е, обладающая свойством АЕ = ЕА = А для любой матрицы А. Единичная матрица имеет вид

Е = .

Обратной к квадратной матрице А называется матрица А^-1_­ такая, что

А×А^–1 = А^–1×А = Е.

Матрицу, обратную к матрице А, существует при ïAï¹ 0. Ее можно вычислить по формуле

A^–1 = ïAï^–1 A^*,

где A^* – матрица, союзная с А. Она получается из А заменой каждого элемента его алгебраическим дополнением и последующим транспонированием.

Пример 1.3.3.Найти матрицу, обратную к

А = .

Решение. Имеем

ïAï = 6 + 18 + 60 – 9 – 16 – 45 = 14;

A^* = ;

A^–1 = .

Вернемся к системе m линейных уравнений с n переменными

(1)

Выделим связанные с ней матрицы: основная матрица А, столбец свободных членов В и столбец переменных Х:

, , .

Заметим, что

АХ = = .

Заключаем, что это произведение матриц представляет собой матрицу из одного столбца, в котором записана левая часть системы. Правая часть – это столбец свободных членов, то есть матрица В. Значит, система может быть записана в матричном виде

АХ = В. (2)

Это очень компактная запись, но кроме этого она позволяет решать систему матричными средствами. Это возможно, если основная матрица системы А является квадратной и обратимой. Тогда, умножив уравнение (2) слева на матрицу А^-1, получим Х = А^-1В. Это и есть ответ, то есть столбец значений переменных.

Пример 1.1.1.Решить систему

Решение. Найдем обратную к основной матрице системы А = :

ïAï= 3(–15 – 1) – 2(–10 – 6) – 3(2 – 18) = –48 + 32 + 48 = 32;

A^* = ; A^–1 = .

Отсюда получаем решение системы

Х = А^-1В = = = = .