Преобразование координат

Date: 2015-10-07; view: 471.

У п р а ж н е н и я

1.7.1.В пространстве даны точки А(1; 3; 0), B(–1; 2; 1), C(–2; 1; 3), D (2; 2; 1).

а) Постройте уравнение плоскости АВС;

б) Постройте уравнение прямой ВС;

в)Постройте уравнение перпендикуляра, проведенного к плоскости АВС через точку D;

г) Найдите расстояние от точки D до плоскости АВС;

д) Постройте уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС.

Часто для определения вида и параметров фигуры, задаваемой уравнением в некоторой системе координат, бывает удобно перейти к другой системе координат. Это может упростить уравнение.

Простейшее преобразование – это параллельный перенос координатных осей. Пусть новые координатные оси x₁ и y₁ имеют в старых координатах уравнения x = a, y = b. Тогда новые координатные оси выражаются через старые формулами x₁ = x – a, y₁ = y – b, а старые через новые формулами x = x₁+ a, y = y₁+ b. Например, уравнение окружности с центром в точке А(a, b) и радиусом r в старых координатах имеет вид (x – a)² + (y – b)² = r², а в новых x₁² + y₁² = r².

Другой вид преобразований системы координат – это поворот координатных осей вокруг начала координат на угол a (угол отсчитывается против часовой стрелки). Формулы перехода от старой системы к новой задаются уравнениями

Формулы перехода от новой системы к старой задаются уравнениями

Можно использовать и косоугольную систему координат, в которой оси расположены под произвольным углом и длины единичных отрезков по осям абсцисс и ординат различны. В такой системе прямые линии и многие другие фигуры задаются уравнениями тех же типов, что и в прямоугольной, но параметры уравнений изменяются; становится весьма проблематично определять расстояния и углы. Но использование косоугольной системы координат позволяет упрощать преобразование уравнений в тех случаях, когда требуется определить только тип фигур, задаваемых этими уравнениями. Преобразование координат производится по формулам

где ad – bc ¹ 0.

Совершенно другой вид системы координат, отличный от декартовой, – это полярная система координат. Она задается точкой (полюсом) О и полярной осью – лучом, выходящим из полюса. Положение любой точки М на плоскости задается углом a, который луч ОМ образует с полярным лучом, и радиус-вектором r – длиной отрезка ОМ. Эти два параметра полностью определяют положение точки М. При этом радиус-вектор определяется однозначно, а угол с точностью до периода 2p: этот период соответствует полному обороту вокруг полюса, приводящему к тому же направлению. Например, уравнение окружности с центром в полюсе и радиусом R в полярной системе имеет вид r = R.

От декартовой к полярной системе координат можно перейти по формулам x = r cos a, y = r sin a. Обратный переход производится с помощью формул

r = ;