Гипербола

Date: 2015-10-07; view: 462.

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Выведем уравнение эллипса. Для этого расположим координатные оси так, чтобы фокусы F₁ и F₂ располагались на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. Пусть расстояние между ними равно 2с, значит, они имеют координаты
F₁(–с, 0) и F₂(с, 0). Пусть M(x, y) – произвольная точка эллипса. Тогда из определения эллипса получаем уравнение

MF₁ + MF₂ = 2a.

Подставляем MF₁ = , MF₂ = , получаем

+ = 2а.

Это уравнение приводится к виду

(a² – c²)x² + a²y² = a²(a² – c²).

При этом a >c, поэтому a² – c² > 0, и можно ввести обозначение a² – c² = b². Уравнение тогда приводится к виду b²x² + a²y² = a²b². Разделив его на a²b², получим каноническое уравнение эллипса

.

Эллипс симметричен относительно координатных осей и пересекает ось абсцисс в точках А₁(–с, 0) и А(с, 0), ось ординат в точках B₁(–b, 0) и B(b, 0). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок А₁А называется большой осью эллипса, отрезок В₁В – малой осью. Таким образом, а и b – это длины большой и малой полуосей.

Эксцентриситетом эллипса называется число . Для любого эллипса . Эксцентриситет характеризует степень сжатия эллипса: чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее сжат эллипс. При = 0 эллипс является окружностью. При этом фокусы эллипса сливаются в одну точку, совпадающую с центром эллипса.

Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых разность расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Уравнение гиперболы выводится аналогично уравнению эллипса из равенства

ïMF₁ – MF₂ï = 2a.

Здесь фокусы имеют координаты F₁(–с, 0) и F₂(с, 0), c > b и c² – a² = b². После преобразований получаем уравнение

.

Гипербола симметрична относительно обеих координатных осей. Она состоит из двух ветвей. Гипербола пересекает ось абсцисс в двух точках А₁(–а, 0) и А(а, 0), которые называются вершинами гиперболы.

Прямые называются асимптотами гиперболы. Они могут строиться с помощью четырех прямых, параллельных осям: х = а, у = b. В пересечении этих прямых образуется прямоугольник, который называется основным прямоугольником гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы называется число . Для любой гиперболы > 1. Эксцентриситет характеризует степень сжатия гиперболы: чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее вытянут основной прямоугольник гиперболы.