Свойства выборочного коэффициента корреляции Спирмена.

Date: 2015-10-07; view: 464.

1. Если между А и В имеется «полная прямая зависимость», то есть ранги совпадают при всех i, то ρ_В = 1. Действительно, при этом d_i = 0, и из формулы (21.4) следует справедливость свойства 1.

2. Если между А и В имеется «противоположная зависимость», то ρ_В = - 1. В этом случае, преобразуя d_i = (2i – 1) – n, найдем, что , тогда

3.В остальных случаях -1 < ρ_B < 1, причем зависимость между А и В тем меньше, чем ближе | ρ_B | к нулю.

Можно использовать и другой коэффициент – коэффициент ранговой корреляции Кендалла. Рассмотрим ряд рангов у₁, у₂,…, у_п, введенный так же, как и ранее, и зададим величины R_i следующим образом: пусть правее у₁ имеется R₁ рангов, больших у₁; правее у₂ – R₂ рангов, больших у₂ и т.д. Тогда, если обозначить R =R₁ + R₂ +…+ R_n-1, то выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла определяется формулой

(6)

где п – объем выборки.

Замечание. Легко убедиться, что коэффициент Кендалла обладает теми же свойствами, что и коэффициент Спирмена.

Пример 2. Десять школьников сдавали выпускной экзамен ЕГЭ по математике и вступительный экзамен по системе централизованного тестирования. Результаты обоих экзаменов оценивались по 100-балльной шкале и оказались следующими (1-я строка – оценки ЕГЭ, вторая – централизованного тестирования):

87 82 80 79 63 55 40 34 33 29

57 92 80 69 71 43 49 51 20 19

Найти выборочные коэффициенты корреляции Спирмена и Кендалла.

Составим последовательности рангов по убыванию баллов на каждом экзамене:

x_i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y_i 5 1 2 4 3 8 7 6 9 10 .

Вычислим d_i: d₁ = 1 – 5 = -4; d₂ = 2 – 1 = 1; d₃ = 3 – 2 = 1; d₄ = 4 – 4 = 0;

d₅ = 5 – 3 = 2; d₆ = 6 – 8 = -2; d₇ = 7 – 7 = 0; d₈ = 8 – 6 = 2; d₉ = d₁₀ = 0.

Найдем Тогда выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Приступим к вычислению коэффициента корреляции Кендалла. Определим, сколько рангов, больших данного, располагается справа от каждого y_i:

R₁ = 5; R₂ = 8; R₃ = 7; R₄ = 5; R₅ = 5; R₆ = 2; R₇ = 2; R₈ = 2; R₉ = 1; R₁₀ = 0;

R = 5 + 8 + 7 + 5 + 5 + 2 + 2 + 2 + 1 = 37;

Заметим, что величины выборочных коэффициентов корреляции позволяют предполагать существование связи между результатами экзаменов. Для проверки этого предположения следует проверить гипотезу о значимости соответствующего выборочного коэффициента ранговой корреляции. ◄

Вопросы для самопроверки

1. В чем состоит различие между функциональной и статистической зависи­мостями между случайными величинами?

2. Опишите форму корреляционной таблицы.

3. Сформулируйте две основные задачи корреляционного анализа.

4. Что такое корреляционный момент, коэффициент корреляции, регрессия?

5. Как получают эмпирическую линию регрессии?

6. Какова форма линии регрессии при линейной корреляционной зависи­мости?

7. В каком диапазоне могут быть значения коэффициента корреляции?

8. Что следует сказать о двух случайных величинах, если коэффициент кор­реляции равен нулю или же равен единице?

9. Как ставится задача определения параметров линии регрессии методом наименьших квадратов?