Понятие: множество некоторых объектов, правила работы с ними и набор аксиом, которым этим правила должны подчиняться, т.е. это множество с введенной в нем структурой.

Date: 2015-10-07; view: 478.

Понятие пространство. Линейное пространство. Примеры пространств и их свойства.

Одной из важнейших характеристик пространства является размерность. В математике существует Евклидово пространство, линейное или векторное пространство, вероятностное пространство и другие.

Опр. Множество L элементов x,y,z, любой природы называются линейным пространством, если выполнены три условия:

1. Задано сложение элементов L, т.е. закон по которому любым элементам x,y из L ставится в соответствии элемент z из L, называемый суммой элементов x,y и обозначаемый z=x+y.

2. Задано умножение элемента на число, т.е. закон, по которому любому элементу x из L и любому числу b из R ставится в соответствие элемент z из L, называемый произведением элемента x на (действительное) число и обозначаемый z=bx

3. Указанные законы (линейные операции) подчиняются следующим аксиомам линейного пространства:

а. Сложение коммутативно x+y=y+x

б. Сложение ассоциативно (x+y)+z=x+(y+z)

в. Существует такой элемент 0 из L, что x+0=x, для любого x из L

г. Для каждого элемента x множества L сущ. такой элемент (-x) из L, что x+(-x)=0

д. Произведение любого элемента x из L на единицу равно этому элементу

е. Умножение на число ассоциативно a(bx)=(ab)x

ж. Умножение на число и сложение связаны законом дистрибутивности по числам (a+b)x=ax+bx

з. Умножение на число и сложение связаны законом дистрибутивности по элементам a(x+y)=ax+ay.

Элементы линейного пространства принято наз. векторами. Одно и то же множество L при одних операциях может быть линейным пространством, а при других – нет. Фактически линейным пространством явл. совокупность (L,+,*) из множества элементов и двух операций, которые удовлетворяют условиям определения.

Примеры линейных пространств: 1)Множество действительных чисел, 2) Множество матриц одного размера, элементами которых явл. действительные числа. 3) Множество всех геометрических векторов в пространстве с началом в данной точке и параллельных данной плоскости с линейными операциями над векторами. 4) Множество функций, непрерывных на отрезке, с обычными операциями сложения функции и умножения функции на число. При сложении непрерывных функций получаем непрерывную функцию, при умножении непрерывной функции на число также получаем непрерывную функцию. 5) Множество всех решений однородной СЛАУ. Решения можно рассматривать как матрицы-столбцы, складывать и умножать на число по законам матричных операций.

НЕ!!! Явл. линейными пространствами: 1)Мн-во натуральных чисел N. 2) Мн-во решений неоднородной системы

Из аксиом линейного пространства можно выделить ряд простейших свойств:

1.Любое линейное пространство имеет только один нулевой вектор

Предположим, что таких элементов 2, 0=аксиома в = 01+02^'= аксиома а = 02^' + 01 = аксиома в =0

2.Каждый вектор линейного пространства имеет только один противоположный вектор.

3.Если вектор (-x) противоположен вектору x, то вектор x противоположен вектору (-x)

Утверждение опирается на коммутативность сложения:

(-x) противоположен x = x+(-x)=0, х противоположен (-х) = (-х)+х=0.

Справа стоят эквивалентные равенства (по а). Значит и утверждения слева равносильны.

4.Для любых двух векторов a и b уравнение a+x=b относительно x имеет решение, и притом единственное

5.Произведение произвольного элемента линейного пространства на число 0 равно нулевому вектору 0*x=0

6.Вектор, противоположный данному вектору x, равен произведению x на число -1, (-1)x=(-x)

7.Произведение нулевого вектора на любое число есть нулевой вектор a0=0