АЛГЕБРА

Date: 2015-10-07; view: 1606.

Функции

Преобразование графиков функций

1. Определение алгебры. Сигнатуры. Примеры

Универсальной Ω-алгеброй (или просто алгеброй) называется система G(A, Ω), состоящая из некоторого непустого множества А (основное множе­ство алгебры или носитель алгебры) и множества определенных на А опера­ций Ω = {ω₁^k1, ω₂^k2,…,ω_n^kn,…} (сигнатура алгебры), где к_i — арность операции ω_i, k_iϵN, ar(ω_i)=k_i, i=1, …,n,… . Операции из множества Ω называются основными операциями алгебры.

А́рность предиката, операции или функции в математике — количество их аргументов, или операндов. Слово образовалось из названий предикатов небольшой арности (унарный — один аргумент, бинарный — два, тернарный — три).

Сигнатура в математической логике и универсальной алгебре — набор символов, специфических для конкретной системы, определяющих её формальный язык. Формально, сигнатура Σ= (R, F, C, ρ) — набор множеств:

R — множество символов для отношений (предикатов),

F — множество функциональных символов,

C— множество символов констант

и функции ρ, сопоставляющей элементам R и F их арность.

Сигнатура характеризует алгебраическую систему (алгебру или модель), определяя из каких символов могут состоять её выражения и каким образом они могут быть сконструированы.

Примеры алгебр:

1) <N, +>, <Z, +, ->

2) Пусть существует множество M {0, 1, 2, 3, 4, 5}. <M, +(mod6)> - алгебра (здесь +(mod6) – сложение по модулю 6: 3+4=1, т.к. 7 это 6+1. Не выходим за границы множества)

2. Свойства операций. Примеры.

· ассоциативность (x₁ᵒ x₂)ᵒx₃ =x₁ᵒ(x₂ᵒx₃) // значок ᵒ означает любую операцию

обладают операции сложения, умножения.

не обладают: деления, вычитание ((1-2)-3≠1-(2-3))

· коммутативность x₁ᵒ x₂ =x₂ᵒx₁

обладает: сложение, умножение

не обладает: перемножение матриц

· дистрибутивность x₁ᵒ( x₂ᵒx₃)=(x₁ᵒx₂)ᵒ(x₁ᵒx₃)

обладает: алгебра множеств

3. Изоморфизм алгебр. Определение. Примеры.

Пусть U_A = <A, {f_i^mi: i=1,2,..}>, U_B=<B, {g_i^mi: i=1,2,..}>, есть две универсальные алгебры одного типа (n₁,n₂,…). Отображение φ_i A→B есть гомоморфизм алгебры U_A в алгебру U_B, если функция φ сохраняет операции в U_A, т.е. для ∀a₁,..,a_ni∈A φ(f_iⁿⁱ(a₁,..,a_ni))=g_iⁿⁱ(φ(a₁),…,φ(a_ni)). Взаимнооднозначный гомоморфизм U_A и U_B есть изоморфизм.

Примеры:

1) Пусть U₁=<R+,*> и U₁=<R,+> есть две алгебры, определенные на подмножествах вещественных чисел. Взаимнооднозначное отображение φ(x) = ln x: R+→R есть изоморфизм из U1 в U2, ибо φ(x,y) = ln (x*y) = ln(x) + ln(y) = φ(x) + φ(y).

2) Пусть U₁=<N, +> и U₁=<N₂, +> (N₂ – множество четных чисел) есть две алгебры, определенные на подмножествах натуральных чисел чисел. Взаимнооднозначное отображение: φ(x,y) = 2(x+y) = 2x+2y = φ(x) + φ(y).

3) Покажем, что алгебры <R ; +> и <R+ ; *> изоморфны. Определим отображение j : R → R+ как j(x) = e^x и j(x+y) = e(x+y) = e^x · e^y = j(x) · j(y).

4. Полугруппа. Определение. Примеры.

Алгебра называется полугруппой, если она содержит хотя бы одну бинарную операцию, которая определена на носители М и является ассоциативной.

Примеры: <N, +>, <N, *>

5. Моноид. Определение. Примеры.

Моноидом называется полугруппа <M, ρ>, которая содержит в себе е, обладающую свойствами:

e ϵ M : a ϵ M

eᵒa = aᵒe = a

Примеры:

1) <N, *> - моноид (е=1 : 1*а=а*1=а)

2) <N, +> - моноид (е=0 : а+0=0+а=а)

6. Группа. Определение. Примеры.

Группой называется моноид, в котором для каждого aϵ M найдется такая a^-1, обладающая свойствами: // а^-1 – не степень, а лишь похожее обозначение!

a^-1ᵒa = aᵒa^-1=e

Примеры:

1) <R₊, *> - группа: если aϵR, то e=1, а^-1=1/а и 1/а * а = а * 1/а = 1

2) <Z, +> - группа: если аϵZ, то е=0, а^-1=-а

7. Решетка. Определение. Примеры.

Решёткой называется алгебра <A; Ъ, Щ > , операции Ъ, Щ которой удовлетворяют следующей системе аксиом:

· для любого элемента a ϵ A выполняются следующие тождества: a Ъ a = a, a Щ a = a

· для любых элементов a, b ϵ A выполняются следующие тождества: a Ъ b = b Ъ a, a Щ b = b Щ a

· для любых элементов a, b, c ϵ A выполняются следующие тождества:

a Ъ (b Ъ c) = (a Ъ b) Ъ c, a Щ (b Щ c) = (a Щ b) Щ c

· для любых элементов a, b ϵ A выполняются следующие тождества: a Ъ (a Щ b) = a, a Щ (a Ъ b) = a

Примеры:

1) множество положительных целых чисел с операциями взятия наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя.

2) система подмножеств данного множества с операциями объединения и пересечения,