Ориентация системы координат. Правая и левая тройки векторов. Определение векторного произведения. Свойства векторного произведения.
Date: 2015-10-07; view: 653.
Площадь параллелограмма, построенного из двух векторов в плоскости.
Длина (или модуль) векторного произведения [ab] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b.
Рассмотрим упорядоченную пару неколлинеарных векторов. Ориентация называется положительной, если кратчайший поворот от первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки, отрицательной в противном случае.
Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих векторов является первым, какой — вторым и какой — третьим.
Тройка не компланарных векторов abc называется правой (левой), если выполнено одно из следующих трех условий:
1) Если, будучи приведены к общему началу, эти векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, не согнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки;
2) Если после приведения к общему началу вектор с располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами a и b, откуда кратчайший поворот от a к b кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке);
3) Если, находясь внутри телесного угла, образованного приведенными к общему началу векторами a, b, c, мы видим поворот от a к b и от него к c совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).
Векторным произведением, вектора a на вектор b называется вектор c, обозначаемый символом
c= [ab] и удовлетворяющий следующим трем требованиям:
1) длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла ϕ между ними , т. е.
|c| = |[ab]| = |a||b|sin ϕ;
2) вектор c ортогонален к каждому из векторов a и b;
3) вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой .
Алгебраические свойства:
1) [ab] = — [ba] (свойство антиперестановочности сомножителей) ;
2) [(αa)b] = α[ab] (сочетательное относительно числового множителя свойство);
3) [(a + b) c] = [ac] + [bc] (распределительное относительно суммы векторов свойство);
4) [aa] = 0 для любого вектора a.
Геометрические свойства:
1) Два вектора коллинеарны ó их векторное произведение равно 0.
2) Если c — какой-нибудь вектор, π— любая содержащая его плоскость, e — единичный вектор, лежащий в плоскости π и ортогональный к c, g— единичный вектор, ортогональный к плоскости π и направленный так, что тройка ecg является правой, то для любого лежащего в плоскости π вектора a справедлива формула: [ac] = прea|c|g.