Разложение определителя по любой строке.

Date: 2015-10-07; view: 457.

Рассмотрим квадратную матрицу A n-го порядка.

Выберем i,j-ый элемент этой матрицы и вычеркнем i-ую строку и j-ый столбец. В результате мы получаем матрицу (n – 1)-го порядка, определитель которой называется минором элемента и обозначается символом M_{i j}:

Алгебраическое дополнение A_i,j элемента a_{i j} определяется формулой

Теорема о разложении определителя по элементам строки. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:

Теорема о разложении определителя по элементам столбца. Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения:

Теоремы о разложении определителя имеют важное значение в теоретических исследованиях. Они устанавливают, что проблема вычисления определителя n-го порядка сводится к проблеме вычисления n определителей (n –1)-го порядка.

Доказательство. По определению, детерминант матрицы A представляет собой сумму

по всем возможным перестановкам индексов, нумерующих столбцы.

Выберем произвольным образом некоторую строку, например, с номером i.

Один из элементов этой строки представлен в каждом произведении . Поэтому слагаемые суммы (*) можно перегруппировать, объединив в первую группу те, что содержат элемент a₁₁ в качестве общего множителя, во вторую группу – члены, содержащие элемент a₁₂ и т.д.

Другими словами, выражение (*) можно представить в виде линейной комбинации элементов a_{i j} (j = 1,2,…,n):

где

представляет собой минор элемента a_{i j} .

Таким образом, и, следовательно, представляет собой алгебраическое дополнение элемента a_{i j}.

Поскольку , то тем самым доказана и Теорема о разложении определителя по элементам столбца.