Закон инерции вещественных квадратичных форм

Date: 2015-10-07; view: 453.

Квадраты переменных, входящие в канонический вмд с положительными коэфициентами, будем называть положительными квадратами, а квадраты, входящие в канонический вид с отрицательными коэфициентами, - отрицательными квадратами.

Для квадратичных форм имеет место следующий закон инерции.

Теорема 43.1 Число положительных квадратов, как и число отрицательных квадратов, в любом каноническом виде данной квадратичной формы одно и то же и не зависит от того, каким невырожденным линейным преобразованием переменных получен канонический вид.

Д-во:

Пусть квадратичная форма имеет канонический вид

, в базисе и канонический вид в базисе

Общее количество квадратов в двух канонических видах одинаково и совпадает с рангом квадратичной формы.

Допустим, r > p. Рассмотрим в линейном пространстве подпространства и . Поскольку r > p, то сумма размерностей этих подпространств перевышает размерность n рассматриваемого линейного пространства. Поэтому т.е. .

Из условия вытекает представление

а из условия – представление

Значит вектор х в базисе пространства X имеет столбец координат , а в базисе – столбец координат .

Из первого получаем

а из второго -

Полученное противоречие показывает, что r > p неверно. Следовательно, r = p и количество квадратов одного знака в двух канонических видах данной квадратичной формы совпадают.