Теорема Виета
Date: 2015-10-07; view: 515.
Теор:Пусть f(x)=anxn+an-1xn-1++++a1x1+a0 многочлен, х1х2..xn-его корни.Тогда х1+х2+…+хn=- 
x1x2+x1x2+x2x3+…+xn-1xn= 
x1x2x3…xn=(-1)n* 
Док-во:Методом индукции по степени многчлена.Пусть degf=1 и f(x)=a1x+a0.Тогда поскольку корнем f явл x=-a0/a1, то
а0=-а1х1 и формулы действуют при n=1
Предположим,что формулы справедливы для любого многочлена степени n. Пусть многочлен g(x)=bn+1xn+1+bnxn++b0
У g(x) имеется n+1 корней(с учетом кратных).Тогда g(x)= bn+1(x-x1)***(x-xn)(x-xn+1) Или g(x)= bn+1f(x)(x-xn+1) где положено
f(x)=(x-x1)(x-x2)***(x-xn) Многочлен f(x) удовлетворяет условиям теоремы,имеет n-ю степень и его старший коэфф равен 1. Отсюда находим bn=-bn+1(x1+x2+++xn+1)
bn-1=bn+1(x1x2+x1x3++xnxn+1)
b0=(-1)n+1bn+1x1x2x3**xnxn+1 после этого остается воспользоваться лишь принципом математической индукции
Наши исходные формулы называют формулами Виета
Для квадратного уравнения имеем:
ax2+bx+c+0
x1+x2= 
x1*x2= 
(α1,α2, …, αn), αi 
, (i 
) V – множество - 
, 
P – скаляр - αβγ
Будем считать что на V введены операции:БАО «+» (α, ) 
α
α 
, 
V
Опр:Мн-во V с заданными на нем операциями + и * на P называется векторным (линейным) пространством, если выполняются специальные условия (аксиома векторного пространства).
, V αβєP
1)<V, +> - абелева группа
Группа-непустое мн-во G с одной БАО “®”, если выполняются аксиомы группы
1)G-замкнуто относит БАО, т.е ∀a,bєG, a®b=cєG
2)Операция БАО ассоциативна, т.е с®(a®b)=(b®a)®c
3)Мн-во G содержит нейтральный элемент “е” т.е ∀aєG ∃eєG a®e=e®a=a
4)Мн-во G содержит симметричный элемент для любого элемента самого мн-ва ∀aєG ∃a'єG a®a'=a'®a=e
Кроме того,если ® коммутативна, т.е a®b=b®a ,то группа называется коммутативной(абелевой).
2)ассоциативность умножения на скаляр ( 
* 
) = (β* )
3)дистрибутивность сложения относительно умножения на скаляров *( 
+ ) = 
+ 
4)дистрибутивность умножения относительно сложения скаляров ( + ) = + β
Размерность и базис векторного пространства.
Опр: Говорят , что векторное пространство V имеет размерность равную n , если V содержит линейно-независимую систему векторов состоящую из n векторов , а все системы содержащие большее количество векторов – линейно-зависимы( Обозначение dim ). Dim V=n;
Опр: Упорядоченная линейно-независимая система векторов называется базисом векторного пространства , если через нее линейно выражаются все остальные векторы данного векторного пространства.
Теор: Если размерность векторного пространства равна n (dim V=n) , то любая линейно-независимая система , состоящая из n векторов является базисом данного векторного пространства.
Док-во:Дано:V, dim V=n; (1) ā1, ā2, ….ān – линейно- независима.
Доказать: (1)- базис V.
Следствие: Если базис векторного прострвнства содержит n векторов , то размерность векторного пространства равна n
Подпр-во:определение,критерий примеры
Опр: Непуст подмнож-во L вект.пр-ваV наз.подпростр-ом, если относительно операций сложения и умножения на скаляр, определенных для векторного пространства V множество L в свою очередь является векторным пространством.v=<V,+,*>
Теор:(крит.подпр-ва):Непустое подмн-во L вект.пр-ва V назыв-ся его подпространством титт, когда выполн следующ условия:
1) 
єL;
Пусть ₤=-1, тогда -1*a?L => -a?L; Множество L относительно операции сложения- это абелева группа(<L,+>-абелева группа). Т.к. элементы множества L в свою очередь явл-ся элементами пространства v ассоциативность умножения на скаляр и свойство дистрибутивности будет справедливо для L.
₤=1 => 1*a=a. L-это подпр-во векторного пространства v . 
и 
Опр: Говорят что в пространстве 
задан оператор А с множеством значений в пр-ве 
если задано правило или закон по которому каждому вектору 
ставится в соответствие вектор 
. При этом пишут 
. Выражение 
значение оператора в точке Х.
Опр: Оператор 
выполняется 1) A( 
)= 
2) 
Примеры лин.оп.1) Оператор,который каждому вектору ставит в соответствие нулевой вектор является линейным оператором и называется нулевым. 2) Оператор,который каждому элементу 
ставит в соответствие вектор 
где 
называется оператором подобия. 3) Поворот плоскости вокруг точки О на угол α является линейным оператором пространства свободных векторов и называется оператором поворота.
Св-ва л.о 1) Всякий л.о сохраняет положение нулевого вектора. 
2) Для любого л.о имеет место равенство 
3) Всякий л.о переводит лин комб векторов в лин комб образов этих векторов,причем с теми же коэфф.
Теор: Всякий л.о векторного пространства 
однозначно определяется заданием образа некоторого фиксированного базиса данного пространства.
Док-во.Дано: 
-л.о. Базис 
. Образы базисных векторов 
. Док-во: Рассмотрим 
. Вектор определяется как 
. Найдем образ 
= 
Матрица линейного оператора. Пусть 
принадлежат пространству 
Составим матрицу, столбцами которой явл коэфф разложения данных векторов по базису Е. 
- матрица линейного оператора А. Если размерность dim 
равен произведению А на корд столбец 
. Вынесем базисные элементы из под скобок, лямбды в скобки и наглядно получим выражение ,доказывающее что теорема верна.
Собственные значения и собств вектор
Многие ур-я к решению которых сводится решение задач прикладного характера можно записать в операторном виде 
(1) При некоторых 
уравнение (1) имеет единственное нулевое решение. При других значениях 
, где Е-единичная матрица n-ого порядка.
3) Вычислить определитель 
4)Решить уравнение n-ой степени 
. Решение данного уравнения и будет являться 
-собственн значения л.о, т.е такие значения при которых 
имеет ненулевые решения.
Опр:ненулевые решения уравнения 
где 
3)Находим фундаментальную систему решений
Собственные вектор-лин.оболочка векторов ФСР из которой искл нуль-вектор. Спектр называют простым если он состоит из n-разл элементов поля скаляров