Студопедия

Главная страница Случайная лекция


Мы поможем в написании ваших работ!

Порталы:

БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика



Мы поможем в написании ваших работ!




Теоремы умножения вероятностей (для зависимых и независимых событий)

Читайте также:
  1. Аксиомы теории вероятностей
  2. Аксиомы теории вероятностей
  3. Взаимозависимых уравнений
  4. Дисперсия числа появлений событий в независимых испытаниях.
  5. Дифференциальная форма теоремы о циркуляции.
  6. Интерпретация теоремы Пригожина.
  7. Лекция 5. Основные теоремы теории вероятностей
  8. Лекция № 14 Числовая последовательность. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Основные теоремы о пределе последовательности.
  9. Лекция № 16 Предел функции в точке и на бесконечности. Основные теоремы о пределе функции. Односторонние пределы. Непрерывность функции. Первый и второй замечательные пределы.
  10. Лекция №6 МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА (МЭГ) ИЛИ ТЕОРЕМЫ ТЕВЕНИНА И НОРТОНА

Вероятность совместного наступления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило, то есть

Доказательство. Пусть события А и В зависимые. N - число всех равновозможных, единственно возможных и несовместных исходов. Из них М - число исходов, благоприятствующих событию А. Тогда . Событию В благоприятствует исходов из М, поэтому .

Совместному наступлению событий А и В благоприятствуют К исходов из N, следовательно, Р(А и В) = . Умножим числитель и знаменатель этой дроби на М, получим

Р (А и В) = = = ,

что и требовалось доказать.

Теорема. Вероятность совместного наступления конечного числа зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычислена в предположении, что все предыдущие уже наступили, то есть

Доказательство. Докажем теорему методом математической индукции. Для двух событий теорема доказана. Предположим, что она справедлива для (n-1) событий, то есть

P(А1, и А2, и Аn, и …, и Аn-1)= .

Обозначим событие (А1, и А2, и А3, и, …, и Аn-1) через В. Найдем вероятность совместного наступления событий В и Аn, применяя теорему умножения вероятностей для двух событий

= .

Так как, по предположению, вероятность события В равна вероятности совместного наступления (n-1) событий, то

P(А1, и А2, и А3, и …, и Аn-1, и Аn)=

.

Замечание. Расположение входящих в произведение событий не играет роли. Для трех событий формула примет вид

Р(А, и В, и С) =

Ранее было отмечено, что если события независимые, то их условные вероятности равны безусловным. Тогда теорема умножения вероятностей для независимых событий может быть сформулирована так.

Теорема.Вероятность совместного наступления конечного числа независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, то есть

Р (А1, и А2, и А3, и ..., и Аn) = .

 

1.6 Формула полной вероятности

Теорема.Вероятность события В, которое может наступить только с одним из событий А1, А2, ... , Аn, образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Аi на соответствующую условную вероятность события В, то есть

.

Доказательство. По условию теоремы событие В может наступить только с одним из событий А1, А2, ... , Аn. Это означает, что появление события В равносильно появлению одного из событий: (А1 и В), или (А2 и В), или ..., или (Аn и В). Так как события А1, А2, ..., Аn несовместны, то и события (А1 и В), (А2 и В), ..., (Аn и В) также несовместны. Применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, а затем теорему умножения вероятностей, получим

или ,

что и требовалось доказать.

Полученная формула называется формулой полной вероятности, а события А1 , А2 , ..., Аn - гипотезами.


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Зависимые и независимые события. Условная вероятность события | Вероятность гипотез (формула Байеса)

Дата добавления: 2014-09-01; просмотров: 1025; Нарушение авторских прав




Мы поможем в написании ваших работ!
lektsiopedia.org - Лекциопедия - 2013 год. | Страница сгенерирована за: 0.003 сек.