В поисках вариационных основ

Идеи, закладываемые в вариационные математические модели, истекают из «причин конечных». А именно, формирование вариационных моделей основывается на следующего рода соображениях. Объект, действующий в интересующем нас проявлении в соответствии с природной закономерностью, выполняет эту свою миссию в экстремальном состоянии, т.е. некоторый примечательный количественный параметр действия объекта, характеризующий это его проявление (возможно, в начале изучения проблемы пока не ясно какой), принимает свое минимальное из всех возможных или максимальное из всех возможных значений.

Такого рода природный принцип причинности, а именно, принцип наименьшего лег в основу формулировки примечательной, решенной в древности задачи об отражении луча света.

Задача о траектории луча света, отражающегося от зеркала

Теперь эта задача известна всем из школьного курса физики, и ее формулировка такова. В какой точке С плоской зеркальной поверхности mn глаз В увидит источник света А? Решение этой задачи в подобной постановке впервые опубликовал Герон Александрийский. Критерием ее решения (идеей, заложенной в математическую модель) стало его предположение о том, что луч

света, падая на зеркало и отражаясь от него, выберет на пути от А до В самый короткий маршрут. Герон, используя вполне доступные сегодня геометрические заключения, доказал, что в этом случае луч света от источника до глаза пойдет только по траектории АСВ, во-первых, находящейся в плоскости, перпендикулярной зеркалу. А, во-вторых, эта его единственно возможная траектория АСВ оказывалась примечательной именно тем, что

, [1] (2.1)

т.е.

«угол падения луча равен углу его отражения».

Это потому, что всегда при выполнении условия (2.1):

(2.2)

где ADB –любой другой путь луча от источника А до глаза В,не удовлетворяющий условию (2.1).

Действительно, если продолжить прямую АС до пересечения с линией ВВ’, перпендикулярной плоскости зеркала, то видно, что прямая АСВ’ всегда короче любой линии ADB’ , т.е.

(2.3)

Поскольку соблюдаются равенства CB = CB’ и DB = DB’ а значит AC+СB = AC+СB’иAD+DB = AD+DB’и критерий (2.3) равносилен критерию (2.2) .

Получим решение задачи Герона о поиске угла падения α, обеспечивающего самый короткий путь ADB, общепринятым сегодня аналитическим путем решения простых вариационных задач. Сформулируем математически то же условие наикратчайшего пути, принимаемое в качестве критерия решения задачи.

Сначала запишем зависимость длины любого маршрута

S = AD + DB

луча, от угла падения луча α (будем считать, что предполагаемая точка отражения луча D, находится на отрезке EF):

(2.4)

где a = AE, b = BF. Проследим, как будет изменяться величина S при изменении положения предполагаемой точки отражения D от точки Eвправо по прямой доF, т.е. при уменьшении угла α начиная с 90º (см. нижний график). Перемещение точки D вправо сначала

вызовет уменьшение величины S. Производная будет при этом отрицательной. При некотором значении угла α, длина пути луча S принимает наименьшее значение, здесь касательная к графику функции f = S(α) горизонтальна и выполняется условие (2.5).

(2.5)

Дальше угол наклона касательной к графику и производная станут положительными и значение S будет возрастать. Нам интересно то значение угла α, при котором S приняло наименьшее значение и выполнилось условие (2.5).

Определить α можно из (2.5), однако, очевидно, с привлечением дополнительного выражения, которое устанавливало бы явную взаимосвязь между β и α. То, что при любом значении угла α расстояние c между проекциями E и F точек А и В на плоскость зеркала, естественно, сохраняет свою постоянную величину, дает нам возможность зафиксировать эту взаимосвязь между β и α:

(2.6)

Продифференцировав равенство (2.6), получим:

(2.6а)

или

(2.6б)

Подстановка (2.6б) в (2.5) показывает, что выполнение условия минимума (2.5) при постоянстве с (2.6) возможно только, если

(2.6в)

т.е. в том случае, когда угол падения луча α равен углу его отражения β.

[1] Эта запись, формулирующая один из физических законов оптики, по сути, и моделирует математическими средствами траекторию отражающегося луча света

Дата добавления: 2014-12-09; просмотров: 230; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!