Главная страница Случайная лекция Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика Мы поможем в написании ваших работ! |
Прямая на плоскости и ее уравнения
Изучение геометрических свойств линий начнем с простейшей линии – прямой. Теорема. Каждая прямая на плоскости определяется линейным уравнением первой степени с двумя неизвестными. Обратно: каждое линейное уравнение первого порядка с двумя неизвестными определяет некоторую прямую на плоскости.
Пример 4.1. Постройте прямую, заданную уравнением . Для построения прямой достаточно знать координаты двух её произвольных точек. Полагая в уравнении прямой, например, , получим . Имеем точку . Полагая , получим . Отсюда вторая точка . Результаты вычислений можно занести в таблицу:
Осталось построить точки и провести через них прямую (см. рисунок).
1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором: , (1) где — нормальный вектор прямой, — координаты данной точки.
Вектор , координаты которого равны коэффициентам при переменных и в общем уравнении прямой, называется нормальным вектором прямой (перпендикулярным данной прямой). 2. Общим уравнением прямой на плоскости называется уравнение первой степени относительно и : , где — постоянные коэффициенты, причём и одновременно не обращаются в нуль . Частные случаи этого уравнения: — прямая проходит через начало координат; — прямая параллельна оси ; — прямая параллельна оси ; — прямая совпадает с осью ; — прямая совпадает с осью .
3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку и с заданным угловым коэффициентом: , где — угловой коэффициент прямой, — координаты данной точки.
4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид: , где — угловой коэффициент прямой (т.е. тангенс угла , который прямая образует с положительным направлением оси ), — ордината точки пересечения прямой с осью . Под углом наклона прямой к оси ОХ будем понимать тот наименьший угол, на который надо повернуть ось ОХ против часовой стрелки, чтобы она совпала с прямой.
Если , то прямая параллельна оси абсцисс, ее уравнение . Если , то прямая проходит через начало координат, ее уравнение . Для прямой, параллельной оси ординат, уравнение имеет вид .
5. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и , где имеет вид:
. В случае уравнение прямой примет вид . В случае уравнение прямой: . Пример. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой . Из уравнения прямой выпишем координаты нормального вектора: . Так как прямые параллельны, то в качестве нормального вектора для искомой прямой примем этот же вектор. Имеем, . Воспользуемся формулой (1): — уравнение искомой прямой. Ответ: — уравнение искомой прямой.
6. Уравнение прямой в отрезках: , (3) где и — длины отрезков (с учётом знаков), отсекаемых прямой на осях и соответственно.
Таким образом, один и тот же геометрический объект (прямая) может быть описан или задан несколькими видами уравнений. Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 313; Нарушение авторских прав Мы поможем в написании ваших работ! |