История

Date: 2015-10-07; view: 461.

Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.

Выражения вида , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Лейбниц, например, писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы».^[5]

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова лат. imaginarius. Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел д'Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом(Англия) в 1685 году. Современное геометрическое представление, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работыЖ. Р. Аргана, повторявшей независимо выводы Весселя. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл Коши.

Арифметическая модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Гамильтон предложил и обобщение комплексных чисел — кватернионы, алгебра которых некоммутативна.

Построение поля комплексных чисел

Из курса школьной математики известно, что любое уравнение имет решение при . С другой стороны, квадратное уравнение не всегда имеет решение. Например, решения не имеет уравнение . Возникает вопрос, нельзя ли сделать так, чтобы любое квадратное уравнение имело решение?

Предположим, что уравнение имет решение. Число (абстрактный элемент, не принадлежащий полю вещественных чисел), которое является решением, обозначим буквой , то есть . Мы должны иметь возможность умножать это число на любое вещественное число. Значит, должны появиться числа вида , где -- вещественное число. Для них должна быть возможность сложения с любым вещественным числом. Поэтому должны появиться числа вида .

Определение 17.1 Числа вида , где и -- вещественные числа, называются комплексными числами.

Посмотрим, какие действия арифметики можно производить с комплексными числами. Сложение чисел должно удовлетворять обычным правилам, поэтому:

(17.1)

При вычислении произведения скобки раскроем привычным способом:

Так как , то получим

(17.2)

Итак, результаты сложения и умножения комплексных чисел снова оказались комплексными числами. Операцию вычитания определить не сложно:

(17.3)

Рассмотрим операцию деления. Учтем, что при умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же число дробь не меняется:

Так как , то

(17.4)

Результат деления двух комплексных чисел оказывается снова комплексным числом. Как видно из полученной формулы, деление нельзя выполнить лишь в том случае, когда , но в этом случае делитель тоже равен нулю. Следовательно, невозможно лишь деление на нуль, что соответствует обычным правилам действий с числами.

Итак, мы вроде бы расширили множество вещественных чисел. Но есть в этом построении один существенный пробел. Мы предположили, что есть такое число , что . А, может быть, его на самом деле нет?² Чтобы исправить это упущение, используем для построения комплексных чисел уже существующее множество.

Пусть -- множество пар вещественных чисел: . На этом множестве определим операции

1. сложения:

2. вычитания:

3. умножения:

4. деления:

Очевидно, что комплексное число, как оно было определено раньше, -- просто другая форма записи пары вещественных чисел , где вместо запятой стоит "+", а второй элемент пары выделяется умножением на букву . В новой форме записи вещественные числа -- это пары , числу соответствует пара , сложение, вычитание, умножение и деление пар чисел и комплексных чисел происходят по одинаковым правилам. Таким образом, комплексные числа стали реально существующим множеством.

Однако в математике, в силу традиции, используется запись комплексного числа , введенная в начале раздела³. Причем принято считать, что

Можно проверить, что комплексные числа образуют поле. В нем обратным элементом к комплексному числу служит результат деления 1 на :

Это поле называется полем комплексных чисел и обозначается .

Число называется мнимой единицей, числа -- мнимыми числами. Если , то число называется вещественной частью комплексного числа и обозначается , число называется мнимой частью и обозначается . Число называется сопряженным числу и обозначается , то есть .

Замечание 17.1 В электротехнике, где буква обозначает ток, мнимую единицу обозначают буквой .

Если операции сложения, вычитания и умножения комплексных чисел соответствуют обычным правилам раскрытия скобок, то для выполнения деления нужно или запомнить формулу (17.4), или, что проще, каждый раз при выполнении деления умножать числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю.

Пример 17.1 Пусть , . Тогда:

Вычислим еще :