Комплексные числа

Date: 2015-10-07; view: 474.

В математике большую роль играют так называемые обратные операции, необходимость выполнения которых обычно приводит к расширению классов имеющихся объектов.

Например, операция сложения. Когда-то люди не знали отрицательных чисел. Складывая положительные числа, в ответе всегда получались положительное число. Но обратная операция – вычитание – привела к необходимости рассматривать числа отрицательные.

Операция умножения. Перемножая целые числа, в ответе всегда получаем также целые числа. Обратная операция – деление -приводит нас к необходимости рассматривать дробные, рациональные числа.

Операция возведения в квадрат. Квадрат рационального числа есть всегда также число рациональное. Но обратная операция – извлечение квадратного корня – приводит к иррациональным числам ( , например, не является рациональным числом).

Но та же самая операция извлечения квадратного корня дает и еще один класс чисел. Как известно, квадрат любого рационального числа есть число неотрицательное. Поэтому и квадратный корень можно извлечь только из неотрицательных чисел (например, ). А как быть с ? Чему он равен? Ведь нет такого рационального числа, квадрат которого был бы равен – 9.

Но, как говорится, если нельзя, но очень хочется, то можно. И желание извлекать корни из отрицательных чисел привело к новому классу чисел, называемых комплексными числами. Для их рассмотрения оказалось достаточным ввести всего лишь одно новое число

,

которое называется мнимой единицей. Считается, что это «число» обладает всеми свойствами обычных чисел и имеет всего одно единственное новое свойство

,

так что, например, . Числа, содержащие i, называются комплексными числами. Без них немыслима современная математика.